确界原理

刻画实数完备性的命题

确界原理( supremum and infimum principle )是刻画实数完备性的命题之一。

确界定义
上界和下界
实数集S非空。若存在实数M, ,有 ,则称M是S的一个上界。而若存在实数m, ,有 ,则称m是S的一个下界。
显然,所有大于M的数都是S的上界,所有小于m的数都是S的下界。因此一个数集的上界(或下界)不是唯一的。
上确界和下确界
设非空数集S有上界,若存在实数β满足以下两个条件:
① ,有 ;(即β是S的一个上界)
② ,有 。
则称实数β为S的上确界,记为 。
同理,若存在实数α满足以下两个条件:
① ,有 ;(即α是S的一个下界)
② ,有 。
则称实数α为S的下确界,记为 。
有时上确界也被叫做最小上界,下确界也被叫做最大下界。
注意:S的上确界(或下确界)可能属于S,也可能不属于S。当上确界(或下确界)属于S时,不难证明上确界(或下确界)就是S中的最大数(或最小数)。
确界描述
确界原理:任一有上界的非空实数集必有上确界(最小上界);同样任一有下界的非空实数集必有下确界(最大下界)。
实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。
确界证明
戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界,非空有下界数集必有下确界同理。
设S为一非空有上界数集,即 成立。取数集B为S所有上界的集合,A=CRB。则:
①由取法可知 ,故 。 ,故 ,因此 。
② 。
③∵A中任何元素都不是S的上界,∴ 。
又∵B中任何元素都是S的上界,∴ 。
故必有 。
∴由戴德金定理可知,要么A中有最大值,要么B中有最小值。设这个值为η,并且 , 恒成立。
假设η是A中的最大值,即 ,那么, 。
又∵ ,∴ 。
但, ,与B中任何元素都是S的上界矛盾。
∴η是B中的最小值,即S有最小上界(上确界)。
确界信息
若把+∞和-∞补充到数集当中,并规定任意一实数a与+∞,-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为:若数集S无上界,则规定+∞为S的非正常上确界,记做sup S=+∞;若S无下界,则定义-∞为S的非正常下确界,记做inf S=-∞,相应的,若S有上确界或者下确界,则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。
即: 任意一非空数集必有上确界和下确界(包括正常的和非正常的)
确界应用
确界原理作为整个极限理论的基础,并且由于它直观易懂,经常代替戴德金定理作为实数公理,从而导出一系列与极限相关的性质,如单调有界定理柯西审敛原理等。在此简单介绍用确界原理推导柯西审敛原理。
柯西审敛原理:数列{xn} 收敛的充要条件是,,,当时,有。
我们把条件“,,当时,有”称为柯西条件,把满足柯西条件的数列称为柯西序列,于是{xn}收敛就等价于{xn}是柯西序列,或{xn}满足柯西条件。
其几何意义表示,数列{xn}收敛的充要条件是,对任意给定的正数ε,在数轴上一切具有足够大号码的点xn中,任意两点的距离小于ε。
证明:
必要性:(略,可参考相应词条)
充分性:先证明柯西序列是有界的。
因{xn}是柯西序列,,,当时,有。
注意一旦ε确定之后,就被当做常数,于是由上述不等式以及三角不等式解得,因此当时,{xn}有界。而把数列的前N项添加进去显然还是有界的,于是得到对任意自然数n,{xn}有界。设。
现构造一个集合S,集合S中的元素x满足:在区间上最多有{xn}的有限项且至少有一个{xn}的项。显然,于是S非空;而S又是有界的,M是一个上界。这是因为假设M不是上界,即存在,使得,即,与S的定义不符。
根据确界原理,S存在上确界,设,现证。
,考虑区间,这个区间上必然有{xn}的无限项。不妨设,且。
因{xn}是柯西序列,由定义,对上述的ε,,令,当时,任取某个,有
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