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极限理论

基础理论

极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。

极限定义
数列极限
定义：设为一无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时的一切，均有不等式成立，那么就称常数是数列的极限，或称数列收敛于。
记为或
用逻辑符号可以表示为：
当时，有
或者：
函数极限
定义：设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，或称函数收敛于.
记为或
用逻辑符号可以表示为：
当时，有
或者：
历史背景
微积分一诞生，就在力学、天文学中大显身手，能够轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。后来，微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就，然而它的创始人牛顿和莱布尼茨对之所作的论证却并不清楚、很不严谨。无论是牛顿的瞬和流数无穷小量分母除数无穷小量
神秘性无穷小量米歇尔·罗尔伏尔泰贝克莱
新事物
微积分的逻辑缺陷和人们的猛烈攻击，激励数学家们为消除微积分的神秘性，亦即为微积分建立合理的理论基础而努力。18世纪，在这方面作出贡献的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉无穷小量无穷级数初等数学
进入19世纪以后，随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也更加复杂，很多问题，例如，对于热传导现象的研究，就已超出了早年力学那样的直观性。在这种情况下，要求有明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则
数学家们经过一百多年的艰苦探索历程，终于在前人所积累的大量成果（包括许多失败的尝试）的基础上，建立起微积分的理论基础。柯西（1789―1857）于1821年出版的《分析教程无穷级数无穷小量极限论波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的工作，又进一步把极限论建立在严格的集合论和实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。微积分理论基础的严密化，使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域。
微积分的发展历史告诉我们唯心主义
理论思维
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