期望效用函数理论

数学理论

期望效用函数理论（Expected Utility Theory），是20世纪50年代，冯·诺依曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人(rational actor)选择进行分析的框架。

函数简介

如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随机变量给他的效用便是：

U(X) = E[u(X)] = P1u(x1) + P2u(x2) + ... + Pnu(xn)

其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。

受到挑战

EU理论及SEU理论描述了“理性人”在风险条件下的决策行为。但实际上人并不是纯粹的理性人，决策还受到人的复杂的心理机制的影响。因此，EU理论对人的风险决策的描述性效度一直受到怀疑。例如，EU理论难以解释阿莱悖论、Ellsberg悖论等现象；没有考虑现实生活中个体效用的模糊性、主观概率的模糊性；不能解释偏好的不一致性、非传递性、不可代换性、“偏好反转现象”、观察到的保险和赌博行为；现实生活中也有对EU理论中理性选择上的优势原则和无差异原则的违背；实际生活中的决策者对效用函数的估计也违背EU理论的效用函数。

另外，随着实验心理学的发展，预期效用理论在实验经济学的一系列选择实验中受到了一些“悖论”的挑战。实验经济学在风险决策领域所进行的实验研究最广泛采取的是彩票选择实验（lottery－choice experiments），即实验者根据一定的实验目标，在一些配对的组合中进行选择，这些配对的选择通常在收益值及赢得收益值的概率方面存在关联。通过实验经济学的论证，同结果效应、同比率效应、反射效应、概率性保险、孤立效应、偏好反转等“悖论”的提出对预期效用理论形成了重大冲击。

等值

CE 被称作确定性等值(Certainty. Equivalent)，即消费者为达到期望的效用水平所要求保证的财产水平。若某人的财富效用函数为u(x)，而一个赌局对某人的效用为E(u(x))，则有一个CE值能够满足：u(CE)=E(u(x))。称CE为某人在该赌局中的确定性等值。

案例分析

案例:期望效用函数理论在就业管理中的应用

一、就业期望效用函数的构造

从不确定性出发，考虑人们的偏好与效用函数就得引进概率P。概率的效用函数表达式叫期望效用函数，如果把期望效用函数与大学生择业、就业结合就可以较简单地构造出就业期望效用函数探讨大学生就业的现象机制一般来讲是在条件确定时进行的经验或者理性的推导。但是，许多场合，那种以完全确定为前提的分析是不现实的。事实上，我们知道，毕业生在决策时，对于选择的后果是不完全知道的，具有不确定性，要冒一定的风险。

毕业生的决策是取决于他(她)关于选择某一个工作岗位的概率分布的主观猜测。如果他主观认为选择某一工作发展前景概率更高，那么，它就会选择，否则另谋出路。这就是我们必须从不确定性出发，考虑消费者的偏好与效用函数就得引进概率P使之变成期望效用函数。如果你选择的工作对象是两家IT公司，收入见下表。

表工资收入。

期望收入=(结果1的概率)×(结果1的收入)+(结果2的概率)×(结果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450则你应该选择工作A，而期望效用(expected utility)一般在单赌的情况下值为u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)当u(g1) ＞ u(g2)时，则可认为毕业时在g_1与g_2之间更偏好g_1。也就是说，当寻找工作的毕业生有多种未知的情况，而要选择时，他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择。如果选择工作的结果有，n个可能性，即就业期望效用函数的意义在于，当大学生面临不确定性的择业、就业选择时，他可以依靠期望效用的极大化来分析自己的选择是否合理可行，至少可以对的状况做较规范的分析。

二、效用函数应用实例

假设市场上由三份工作可以选择，它们的工资分别为A=(3000元，1500元，1000元)括号中的a1 = 3000,a2 = 1500,a3 = 1000，分别表示可能发生的三种结果，这里a1最好，a3最次。

如果问自己：当a发生的概率(p)等于多少时使你认为a(i=1，2，3)与(p,a1,a2)无差异?如果回答是：3000元～(1×(3000元)，0×(1000元))，1500元～(0.6×(3000元)，0.4×(1000元))，1000元～(0×(3000元)，1×(1000元))那么可以定义：

u=(3000元) =u(a1) = 1

u=(1500元) =u(a2) =O.6

u=(1000元)=u(a3) =O

可以比较不同寻职格局了。

由于u(S1)＞u(S2)即S1的期望效用大于S2的期望效用，所以你=定会偏好于选择S1。因此你可以通过自己对某=行业的了解及心理自测的评价，利用就业期望效益较合理评估自己的想法，寻找更多的机会和更合适的工作岗位。

修正扩展

研究者针对以上问题提出了以下几种使EU理论一般化的方式:

(1)Karmark(1978)提出主观权重效用(Subjectively Weighted Utility，SWU)的概念，用决策权重替代线性概率，这可以解释Allais问题和共同比率效应，但不能解释优势原则的违背；

(2)扩展性效用模型（generalized utility model）。该类模型的特点是针对同结果效应和同比率效应等，放松预期效用函数的线性特征，或对公理化假设进行重新表述，模型将用概率三角形表示的预期效用函数线性特征的无差异曲线，扩展成体现局部线性近似的扇行展开。这些模型没有给出度量效用的原则，但给出了效用函数的许多限定条件。

(3)Kahneman和Tversky(1979)引入系统的非传递性和不连续性的概念，以解决优势违背问题；

(4)“后悔”的概念被引入，以解释共同比率效应和偏好的非传递性；如Loomes和Sudgen（1982）所提出的“后悔模型”引入了一种后悔函数，将效用奠定在个体对过去“不选择”结果的心理体验上（放弃选择后出现不佳结果感到庆幸，放弃选择后出现更佳结果感到后悔），对预期效用函数进行了改写（仍然保持了线性特征）。

(5)允许决策权重随得益的等级和迹象变化，这是对SWU的进一步发展。

(6)非可加性效用模型（non-additivity utility model）这类模型主要针对埃尔斯伯格悖论，该模型认为概率在其测量上是不可加的

以上提出的几条分别扩展为金融学中的几大经典成果，如Kahneman和Tversky（简称KT）提出的理论后来发展成为前景理论；而“后悔“概念演化为“后悔理论”。

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