本构模型

表示材料本构关系的物理模型

本构模型，又称材料的力学本构方程，或材料的应力-应变模型，是描述材料的力学特性（应力-应变-强度-时间关系）的数学表达式。材料的应力-应变关系是很复杂的，具有非线性，粘弹塑性，剪胀性，各向异性等，同时应力水平、应力历史以及材料的组成、状态、结构等均对其有影响。

定义

用于表示某一种材料的本构关系的物理模型。因通常由弹簧、黏壶和滑块等实体元件组成而得名。按性质可分为弹性模型、刚塑性模型、弹塑性模型、黏弹性模型、黏塑性模型和弹黏塑性模型。与之相应的性质常由模型参数表示。在岩土力学中应用较为广泛。

分类简介

弹性模型

土的应力-应变关系为弹性关系以及建立在弹性理论基础上的本构模型。主要有文克尔地基模型，双参数地基模型，弹性半空间地基模型，层向各向同性体模型，以及各种非线性弹性模型。

超弹性模型

通过应变能函数的微分建立的本构模型。

式中，

式中W为应变能函数；Ω为余能函数；σij和εij分别为应力张量和应变张量。

次弹性模型

在特路斯代尔（Truesdell）1955年建议的简单比率理论基础上建立应力速率和应变速率之间关系为基础的一类本构模型。其一般表达式为：

零级次弹性模型为增量胡克定律。

弹塑性模型

建立在弹塑性模型理论基础上的一类本构模型。

已经建立的弹塑性模型很多，影响较大的有：剑桥模型；修正剑桥模型；拉特-邓肯模型；边界面模型；清华弹塑性模型、沈珠江三重屈服面模型等。

本构关系

即应力张量与应变张量的关系。一般地，指将描述连续介质变形的参量与描述内力的参量联系起来的一组关系式。具体地讲，指将变形的应变张量与应力张量联系起来的一组关系式，又称本构方程。对于不同的物质，在不同的变形条件下有不同的本构关系，也称为不同的本构模型。如线性弹性体本构模型的本构关系为胡克定律。弹塑性体、粘弹性体、热弹性体等都有各自的本构关系。刚体也可以被看作一种简单的本构模型。

土的本构关系，亦称“岩石的应力-应变关系”。岩石、岩体的应变或应变率与应力、温度、时间及其他因素的函数关系。在固体力学中，表征物体或结构变形与受力的关系。可分为线性（弹性体）本构关系与非线性（非弹性体）本构关系两类。前者在简单情况下即为应力-应变关系，应力分量与应变分量之间存在着一一对应的函数关系；而后者则复杂得多，一般天然岩石的本构关系均属于此类，如图1所示。通常，岩石的本构关系曲线亦称为岩石应力-应变曲线。曲线大致可分为五个阶段，C点表示岩石强度或破坏应力，OABC是破坏前区域，CDE是破坏后区域。本构关系是岩石力学中最重要的关系式，可用以确定一定应力场或环境条件下岩石的实际状况。对于探索地球岩石圈的应力状态以及地震成因理论等都有重要意义。

天然岩石的典型本构关系曲线

OA（Ⅰ）：作功硬化阶段

AB（Ⅱ）：线弹性阶段

BC（Ⅲ）：膨胀软化阶段

CD（Ⅳ）：可控破裂阶段

DE（Ⅴ）：摩擦滑动阶段

基本原理

物质客观性原理

本构方程是由物质性质决定的，它不随观测者的改变而变化，因而作为相对运动的两个观测者在做材料试验时应当得到相同的本构关系。即在做相对运动的坐标系中，本构方程应具有相同的形式。

同时，本构方程不因坐标系的选择不同而不同，在各坐标系中均具有相同的形式，本构方程应当具有张量的性质。物质客观性原理也成为坐标系无差异原理。

确定性（遗传性）原理

确定性原理认为物体中某点的状态恒可由物体内各点的以往运动史唯一确定，而和未来的运动无关。

局部作用原理

物体内诸点的运动对某点X的应力或其他物理量的影响，随着离该点距离的增大而减小，特别是对大多数物质，只有X点邻近质点的运动才对X点的应力有影响，而离开X点有限距离的物质点的运动对该点的应力没有影响。换句话说，同一物体的两个不同的运动历史，只要保证两个运动历史在X点邻域内是相同的，则X点的应力或其他物理量也是相同的。

物质客观性原理、确定性原理和局部作用原理也称为Noll三原则，由此可以导出简单物质的本构关系。

物质对称性原理

自然界中的物质一般都存在对称性，本构方程必须能够反映这种对称性。线性弹性力学的理论已证明，理论上应力一应变间存在81个弹性常数。由于应力和应变张量均为对称张量，独立的弹性常数下降到21个，正交各向异性物质具有三个相互正交的对称面，可以导出独立的弹性常数为9个。横观各向同性材料有5个独立的弹性常数，而各向同性材料则只有2个独立的弹性常数。

记忆减退性原理

离现时刻越远的过去的历史对现时刻应力和其他状态物理量的影响越小。蠕变材料等的本构方程都必须满足这一原理。

相容性原理

物质的本构关系必须满足一些普遍原理，如质量守恒原理、动量守恒原理、动量矩方程、局部能量守恒原理、熵产率原理等。

量纲一致性原理

本构方程中各项的量纲必须一致，同时要特别注意一些特殊函数（如对数函数、指数函数等）的自变量量纲。从事本构关系研究时，对量纲一致性原理必须有足够的重视，否则，即使提出的本构关系能很好地拟合试验数据，但在实际应用中可能会得到完全错误的结果。

模型举例

文克尔地基模型

文克尔地基模型是由捷克工程师E·文克尔（E·WINKLER）1876年提出的。基本内容为：地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基沉降S成正比，即p=k·s式中k-基床系数，表示产生单位沉降所需的反力，单位KN/m3。

在文克尔地基模型下，地基上某点的沉降之与该点土作用的压力有关，与其他点的压力无关。力学性质与水相近的地基，例如抗剪强度很低的半液态土﹙如淤泥、软粘土﹚地基或基底下塑性区相对较大时，采用文克尔地基模型就相对比较合适。文克尔地基又可称为稠密液体地基，基床系数K相当于液体的密度，地基反力相当于液体的浮力。此外，厚度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基也适于采用文克尔地基模型。这是因为在面积相对较大的基底压力作用下，薄层中的剪应力不大的缘故（实际上，沉陷也发生在受压范围以外）。

文克尔地基模型忽略了地基中的剪应力，这与实际情况是不相符的。正是由于剪应力的存在，地基中的附加应力才能向旁扩散分布，使基底以外的地表发生沉降。文克尔模型中把基础当作绝对刚性的，忽视上部结构的存在，把基础看成地基上孤立的梁和板，而事实上结构-基础-地基是相互作用的。

剑桥模型

1958-1963年间，英国剑桥大学的Roscoe等根据正常固结粘土和弱超固结粘土的三轴试验，提出的剑桥粘土的本构模型，标志着人们在土体力学特性认识上的第一次飞跃。他们将“帽子”屈服准则、正交流动准则和加工硬化规律系统地应用于Cam模型之中，并提出了临界状态线、状态边界面、弹性墙等一系列物理概念，构成了第一个比较完整的土塑性模型。Roscoc和Burland又进一步修正了剑桥模型，认为剑桥模型的屈服面轨迹应为椭圆，给出了众所周知的修正剑桥模型。可以这样说，剑桥模型开创了土力学的临界状态理论。

试验证明，对于正常固结粘土和弱固结的饱和重塑粘土，孔隙比e与外力p，q之间存在有唯一的关系，且不随应力路径而发生变化。该模型试图描述室内试验所观察到的现象，即从某一初始状态开始加载直到最终维持塑性常体积变形的临界状态，其基本组成如下：

（1）在（e，p）平面中，存在一条曲线，在正常固结粘性土中的所有应力遵循此路径，这被称为正常固结线（NCL）。这条线提供了体积硬化规则，可以被广义化为一般应力条件。

（2）在（e，p，q）空间中存在一条线，所有的残余状态都遵循此路径，而与实验类别和初始条件无关。这条线与（e，p）平面中的正常固结线平行，在此线上，剪切变形发生而没有体积变形发生。

（3）从固结排水和不排水实验中所得到的应力路径位于唯一的状态面，通称为Roscoe面。事实上，在不排水路径中，土随着塑性体积应变的发展而硬化。其中，体积应变的弹性和塑性应变增量之和保持常数。Roscoe面价值在于给出了屈服面类型的一个选择依据。

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