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柯西方程

函数方程

柯西方程是形如 f(x+y)=f(x)+f(y) 等的一类函数方程，由柯西最早做出相关研究。此方程称为“加性柯西方程”，它的解是正比例函数。

定义与性质
柯西方程是函数方程
此方程的解称为加性函数，在有理数定义域上，利用初等代数我们很容易得出有一组函数满足条件，是,其中是任意实数。定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的，所以我们需要更多的条件得到，以下条件可得是正比例函数：
◎是连续函数（在1821年已被柯西证明），后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。
◎存在, 函数在有界
◎f单调，或f在某开区间单调。
◎存在, 使得, 有, 或者存在, 使得, 有
另外，如果没有其他条件的话，（假如承认选择公理成立），那么有无穷非的函数满足该条件,这是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念证明的。
希尔伯特第五问题是该方程的推广
存在实数使得解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。
在有理数中的证明
, 那么有, 即.
, 那么由, 即.
利用数学归纳法,可知.
将用代替，那么有
任意有理数,有
以上合起来，就是任意有, 取,可得,得证。
在实数域上证明
函数连续
由于函数连续，且有理数稠密，不难说明在为任意实数上成立（利用有理数逼近）。
函数在区间有界
定义函数,显然是实值函数。
由于
所以也是满足柯西函数方程的函数
因此任意,我们有
由于在上有界，那么设界为，即任意,有
那么由于,有任意,
,即在有界
由于任意不在,有有理数，使得,
即同样有界,即在上有界
而若有,使得不为0，那么必存在，使得趋向无穷大，矛盾。
因此恒成立，即
函数在某点连续
根据连续的定义可知，任意δ,存在ε，使得,即在区间有界，化为上面的条件。
函数单调
在某区间单调，那么任意,
,
其中,将逼近，不难说明.
而任意,存在，使得,
同理可知成立。
函数保号
保号是指：存在,使得,有,或者存在,使得,有。
根据对称性,使得,有
任意,存在n,使得,那么利用
,即可得f(x)单调，化为上面条件。
其他解的性质
以下的证明将显示“其他的解”(若存在)是相当病态(pathological)的函数。我们将证明这个函数f所对应的图在中稠密，亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点，我们将从这个定义着手证明。
详情如图1所示
不连续解存在性
要构造出反例，必须承认 选择公理或 Zorn引理，从而当我们把 看成是 上的线性空间时，它允许我们选出无穷多个元素作为基底，使得每个实数都能写成 以有理数为系数 的有限个基底的线性组合，称为哈默基(Hamel Basis)。
详情如图2所示
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