初等代数

数学术语

初等代数（elementary algebra）是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的代数式的代数运算理论和方法的数学分支学科。

历史背景

代数（algebra）是由算术（arithmetic）演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解ax2+bx+c=0这类用符号表示的代数方程的技巧。那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。

如果我们对代数符号不是要求像如今这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。

“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。

从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象人们学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。古代的方程在公元前一世纪的时代已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。不定方程的出现，在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比人们所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。

具有x3+px2+qx=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786-1837）方法相同的数字方程解法，人们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。在世界数学史上对代数方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、十九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。

历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。到十八、十九世纪由李锐（1773-1817）、汪莱（1768-1813）到李善兰（1811-1882），他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。

研究范围

初等代数的中心内容是解代数方程，因而长期以来都把代数学理解成代数方程的科学，数学家们也把主要精力集中在代数方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。

要讨论代数方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方（这里仅限于有理数指数幂）和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。

在初等代数的产生和发展的过程中，通过代数方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。

有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些一元多项式方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。

那么到了复数范围内是不是仍然有代数方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。

把上面分析过的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：

三种数——有理数、无理数、复数；

三种式——整式、分式、根式（统称代数式）；

三类方程——整式方程、分式方程、无理方程（统称代数方程），

以及由有限多个代数方程联立而成的代数方程组。

值得注意的是：根据方程的定义，只要是含有未知数的等式，就是方程。这里之所以要强调”代数方程“，是因为除了代数方程之外，还有超越方程（即非代数的初等方程，包括指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等）、微分方程、差分方程、积分方程等许多其他形式的方程。后面几类显然不属于代数的范畴。一些有关数学史的内容经常将代数定义为“以解方程为核心的学科”，主要是因为历史上关于代数方程的知识在微积分等近代数学分支建立以前就早有研究了。既然当时都没有微积分，数学家们又怎能想起建立微分方程的概念呢？

初等代数的内容大体上相当于现行中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的，等等。这些都只是历史上形成的一种编排方法。

初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和代数方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的加、减、乘、除和开方。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

十条规则

五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；

两条等式基本性质：等式两边同时加（减）上一个数，等式不变；等式两边同时乘（除）以一个非零的数，等式不变；

三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。

初等代数学进一步地向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的（一元）高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了，相应地也形成了”线性代数“与”（一元）多项式代数“两大板块。

区别

初等代数学是指19世纪上半叶以前的代数方程理论，主要研究某一代数方程（组）是否可解，怎样求出代数方程所有的根（包括近似根）以及代数方程的根所具有的各种性质等。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。如今大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复，也更加抽象。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。