根心定理

平面几何定理

根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：

定义

点对圆的幂

平面上任意一点对圆的幂定义为以下函数：

考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：

由此也可以把点对圆的幂定义为：

这里是点到圆心的距离，是圆的半径。

点对圆的幂的几何意义是明显的：

若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；

若点在圆上，则幂为0；

若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点且垂直于的弦长的一半的平方。

根轴

平面上两不同心的圆

显然，对两圆等幂的点集是直线：

该直线称为两圆的根轴。根轴必垂直于两圆的连心线。

若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；

若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；

若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线。

当圆1和圆2相离或内含时，用尺规作出这两圆的根轴需要依赖“根心定理”（见第三部分）。具体的做法是：另作一个适当的圆3与前两圆都相交，圆3分别与前两圆形成根轴，这两条根轴的交点即是圆1、圆2和圆3的根心，它必定在圆1和圆2所形成的根轴上；同理，再找一个适当的圆4，找到圆1、圆2和圆4的根心。连接所找到的两个根心，即得到圆1和圆2的根轴。

主要区别

根心与根心定理（解析几何证法）

三个两两不同心的圆

任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴：

这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。因此：

（i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。

（ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。

具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：

（1）三根轴两两平行；

（2）三根轴完全重合；

（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。

上面所证明的即是“根心定理”。

以上用解析几何的方法证明了根心定理。在平面上，二元方程对应一条曲线，而方程组的解对应着曲线的公共点。利用这个思想，从根轴方程的线性相关性出发，容易得到平面几何上的根心定理。这种证明方法十分简单。