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梯度下降法

一阶最优化算法

梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

简介
梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。
描述
梯度下降方法基于以下的观察：如果实值函数在点处可微且有定义，那么函数在点沿着梯度相反的方向下降最快。
因而，如果
对于为一个够小数值时成立，那么。
考虑到这一点，我们可以从函数F的局部极小值的初始估计出发，并考虑如下序列使得
因此可得到
如果顺利的话序列收敛到期望的极值。注意每次迭代步长可以改变。
右侧的图片示例了这一过程，这里假设F定义在平面上，并且函数图像是一个碗形。蓝色的曲线是等高线（水平集），即函数F为常数的集合构成的曲线。红色的箭头指向该点梯度的反方向。（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数F值最小的点。
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