梯度算子

物理概念

梯度算子是用于计算多元函数在各变量方向变化率的向量算子，在图像处理中可检测像素强度变化确定边缘位置，像 Sobel、Prewitt 算子等，通过特定模板卷积图像获取边缘信息，服务于目标识别、图像分割等任务。

场

这个在物理学中非常基本的概念.我们所说的场是指取决于空间位置的一个量.

标量场

最可能简单的一种物理场是标量场,所谓标量场,是指每点仅有一个单独数量——一个标量——所标志的那种场. 当然这个数量还可随时间而变,不过眼下我们还无需为此操心.我们将只谈论在某一特定时刻,场看来是个什么样子.作为标量场的一个例子,你可以考虑一块固体材料,其中某些地方受热而另一些地方受冷,使得该物体的温度以一种复杂方式逐点改变.于是温度将是从某个迪卡尔坐标系上量得的代表空间每一位置的函数. 可见温度是一标量场.另一个常见的例子则是势场.

矢量场

还有一种场叫做矢量场, 意义也十分简单. 就是在空间每一点给出一个矢量, 这个矢量逐点变化.作为一个例子,可考虑一个旋转物体.在每点上物体中原子的速度便是位置函数的矢量.作为第二个例子,考虑在一块材料中的热流.如果某处的温度高于另一处的,热量就会从较热处流至较冷处.在材料中的不同位置热量将朝不同的方向流动,这一热流就是一个矢量场. 当然,类似的,你也可以给张量场下个定义.

劈形算子，倒三角算子（nabla）

是一个符号，形为∇。该名字来自希腊语的某种竖琴：纳布拉琴。相关的词汇也存在于亚拉姆语和希伯来语中。

另一个对于该符号常见的名称是atled，因为它是希腊字母Δ倒过来的形状。除了atled外，它还有一个名称是del。

劈形算子在标准HTML中写为&nabla，而在LaTeX中为 abla。在Unicode中，它是十进制数8711，也即十六进制数0x2207。

劈形算子在数学中用于指代梯度算符，并形成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用于指代微分几何中的联络（可以视为更广意义上的梯度算子）。它由哈密尔顿引入。

微商

当场随时间变化时,可通过给出场对时间的微商来加以描述.我们希望也按同样办法来描述场对空间的变化, 因为对于例如或者相邻两点之间的温度或者势能关系我们是感兴趣的.

值得注意的是,对任一标量场,例如 φ ,其可能的微商有三个: φx1 ,φ x2 和 φ x3 .由于有这三种微商,而我们又知道要形成一个矢量需要三个数量,也许这三个微商就是一个矢量的分量 ! 当然,一般并非任何三个数量都能构成为一个矢量的.只有当我们旋转坐标系,各个分量按照正确的方式变换时,这才成立.所以需要分析坐标系旋转时, 这些微商是如何变换的.为此,我们采用一个新坐标系 xi′ 系中,微商变为 φ ′ 式法则,有= λij x j ,在这个坐标xi′ = φ xi′ ,这是因为 φ ′ xi′ 是一个标量.利用链φ x j φ = xi′ xi′ x j

(1)为了得到 x jxi′ 这个系数,我们写出坐标变换的反变换 ′ x j = λkj xk

(2)并将其两边对 xi′ 求导数,得x j x′ = λkj k = λkjδ ik = λij xi′ xi′将它代入式(1),我们就得到了

(3)φ φ = λij xi′ x j这个式子说明( φx1 , φ x2 , φ x3 ) 是一个矢量.

上面的论证与我们究竟是在对哪一个标量场进行微分是没有关系的.既然不管我们对之进行微分的是什么,那些变换公式都相同,那就可以略去 φ 而由一个算符方程式来代替式(3):= λij xi′ x j在很多参考书上也将

(5)xi 用 i 来表示,即 i ≡ xi .这样的记号写起来更加简单,而且在复杂的场合也不容易出错.我们可以利用它将上面的变换关系可以写得好看一些′ = λij j i

(6)由于这些微分算符本身就已如同一个矢量的分量那样进行变换,我们便可以称之为一个矢量算符的分量,通常用符号来表示这个矢量算符,即可以写成≡ ( 1 , 2 , 3 )或者

(7)= xi i那当然就意味着其分量

(8)i = i

(9)顺便提一句,在有关张量的现代处理中,我们正是把 i 这样的微分算符看作矢量基的.第 2 页,共 7 页

当作用在标量函数或者矢量场上, 就是我们所熟悉的梯度, 散度以及旋度:grad φ = φ = ( iφ ) xi = div A = A = i Aif r

(10)curl A = × A = ( ε ijk j Ak ) xi值得注意的是,上面的式子中顺序是很重要的,例如 A 是矢量场 A 的散度, 它是一个标量;而 A 并非一个数值,它仍然是某种算符.另外,这里我还写出了标量场梯度的另一种表示方法,即 φ

= f r ,在分析力学部分我们会比较多的采用这个记法, 其好处在下面这样一个简单的例子中可见一斑. 设粒子位矢 r 的函数,而 r 本身又是某个变量 q 的函数,我们要求微商,根据链式法则,有f是f对q 的df f dx i = dq xi dq

而采用这里的写法,我们就可以将上式写为

(11)df f dr = dq r dq这在涉及质点组问题时会带来较大的方便.

不同坐标系中的梯度算子

设某一给定正交坐标系的三个单位矢量为 ui ,而线元的平方可以表示为

ds 2 = gi dui2 ,那么体积元(其中 g = g1 g 2 g 3 )

dV = gdu1du2 du3

梯度算子的作用则分别为

f =1 f ui , gi ui gi g k Ak ui , g u j

A =1 g Ai g ui gi× A = ε ijk1 g f 2 f = g ui gi ui

例如,对于柱坐标系有ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + dz 2即

g rr = g zz = 1,因此,体积元为gθθ = r 2 ,g =r

dV = gdrdθ dz = rdrdθ dz而

f 1 f f θ+ z r+ r r θ z 1 f 1 2 f 2 f 2 f = + r + r r r r 2 θ 2 z 2 1 1 A A A = ( rAr ) + θ + z z r r r θ 1 Az Aθ Ar Az × A = r + z z r r θ f =Ar 1 θ + ( rAθ ) θ r r z

而对于球坐标系,则有ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ d 2即

g rr = 1,因此,体积元为gθθ = r 2 ,g = r 2 sin 2 θ ,g = r 2 sin θ

dV = gdrdθ d = r 2 sin θ drdθ d而

f =2f 1 f 1 f θ+ r+ r r θ r sin θ f 2 f 1 2 f 1 1 f = 2 r + sin θ + θ r 2 sin 2 θ 2 r r r r 2 sin θ θ 1 1 1 A A = 2 ( r 2 Ar ) + ( sin θ Aθ ) + r r r sin θ θ r sin θ × A = + 1 r sin θ 1 r sin θ Aθ θ ( sin θ A ) r

Ar 1 A sin θ ( rA ) θ + ( rAθ ) r r r r θ

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