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链式法则

微积分中的求导法则

链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

一元函数求导的链式法则
链式法则是求复合函数的导数（偏导数）的法则。
若 I，J 是直线上的开区间，函数 f(x) 在 I 上有定义 处可微，函数 g(y) 在 J 上有定义 ，在 f(a) 处可微，则复合函数 在 a 处可微 ( 在 I 上有定义)，且 . 若记，而 f 在 I 上可微，g 在 J 上可微，则在 I 上任意点 x 有
即 ，或写成
这个结论可推广到任意有限个函数复合的情形，于是复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。
链式法则是隐函数、反函数以及参数方程式函数求导法的基础，对于微积分后续内容的学习有着至关重要的作用。另一方面，链式法则的关键在于如何选取中间变量，复合函数特别是多元复合函数中间变量及自变量的复杂性。链式法则是复合函数求导的基本规则，给复合函数的求导计算带来便利。
多元函数求导的链式法则
若多元函数 u=g(y1,y2,...,ym) 在点 𝒃=(b1,b2,...,bm) 处可微，bi=fi(a1,a2,...,an)(i=1,2,...,m)，每个函数 fi(x1,x2,...,xn) 在点 (a1,a2,...,an) 处都可微，则函数 u=g(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn)) 也在(a1,a2,...,an) 处可微，且
这就是多元函数的链式法则，若同时考察一组（p 个）复合函数 u1,u2,...,up，其中 uk=gk(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))(k=1,2,...,p)，将它们的偏导数写成矩阵（雅可比矩阵），则可以看到链式法则在形式上更有规律性，这时
若对于上面考察的这些函数，令，于是，是 p 维向量值函数（定义与 𝑹m 的子集上），是 m 维向量值函数（定义于𝑹n 的子集上），按照定义，它们的导数是相应的雅可比矩阵，写成向量形式即
（等式右端为两矩阵与的矩阵乘积），其中. 这就是向量值函数的链式法则，它在形式上与一元函数的链式法则完全相同。
例题
求导
链式求导：令
则 即可求得。
在实际应用中，可将 看作是分数的约分过程，这种用法在求不定积分中会更广泛地使用。
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