欧姆定律

物理学名词

欧姆定律指出：通过导体两端的电流与导体两端的电压成正比，比例常数被称为电阻。公式为I=U/R。在交流电中，欧姆定律仍然适用，电压与电流的比例常数被称为阻抗，阻抗的概念是电阻的推广。

研究历史

欧姆第一阶段的实验是探讨电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系，其结果于1825年5月在他的第一篇科学论文中发表。在这个实验中，他碰到了测量电流强度的困难。在德国科学家施威格发明的检流计启发下，他把奥斯特关于电流磁效应的发现和库仑扭秤方法结合起来，设计了一个电流扭力秤，用它测量电流强度。欧姆从初步的实验中发出，电流的电磁力与导体的长度有关。其关系式与今天的欧姆定律表示式之间看不出有什么直接联系。欧姆在当时也没有把电势差（或电动势）、电流强度和电阻三个量联系起来。

在欧姆之前，虽然还没有电阻的概念，但是已经有人对金属的电导率（传导率）进行研究。1825年5月欧姆在他的第一篇科学论文中发表电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系，是有关伽伐尼电路的论文，但其中的公式是错误的。1825年7月，欧姆也用上述初步实验中所用的装置，研究了金属的相对电导率。他把各种金属制成直径相同的导线进行测量，确定了金、银、锌、黄铜、铁等金属的相对电导率。虽然这个实验较为粗糙，而且有不少错误，但欧姆想到，在整条导线中电流不变的事实表明电流强度可以作为电路的一个重要基本量，他决定在下一次实验中把它当作一个主要观测量来研究。

在以前的实验中，欧姆使用的电池组是伏打电堆，这种电堆的电动势不稳定，使他大为头痛。后来经人建议，改用铋铜温差电偶作电源，从而保证了电源电动势的稳定。

1826年，欧姆用实验装置导出了他的定律。在木质座架上装有电流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盘，s是观察用的放大镜，m和m'为水银杯，abb'a'为铋框架，铋、铜框架的一条腿相互接触，这样就组成了温差电偶。A、B是两个用来产生温差的锡容器。实验时把待研究的导体插在m和m'两个盛水银的杯子中，m和m'成了温差电池的两个极。

欧姆准备了截面相同但长度不同的导体，依次将各个导体接入电路进行实验，观测扭力拖拉磁针偏转角的大小，然后改变条件反复操作，根据实验数据归纳成下关系：

x=q/(b+l)式中x表示流过导线的电流的大小，它与电流强度成正比，A和B为电路的两个参数，L表示实验导线的长度。

1826年4月欧姆得出有名的欧姆定律，把定律改写为：X=KSA/L，s为导线的横截面积，K表示电导率，A为导线两端的电势差，L为导线的长度，X表示通过L的电流强度。如果用电阻l'=L/KS代入上式，就得到X=A/I'这就是欧姆定律的定量表达式，即电路中的电流强度和电势差成正比而与电阻成反比。1827年出版了他最著名的著作《伽伐尼电路的数学论述（Die galvanische Kette）》，文中列出了公式，明确指出伽伐尼电路中电流的大小与总电压成正比，与电路的总电阻成反比，式中S为导体中的电流强度(I)，A为导体两端的电压(U)，L为导体的电阻(R)，可见，这就是今天的部分电路欧姆定律公式。为了纪念欧姆对电磁学的贡献，物理学界将电阻的单位命名为欧姆，以符号Ω表示。1欧姆定义为电位差为1伏特时恰好通过1安培电流的电阻。

1876年，詹姆斯·麦克斯韦与同事，共同设计出几种测试欧姆定律的实验方法，能够特别凸显出导电体对于加热效应的响应。

理论

定律定义

常见简述：在同一电路中，通过某一导体的电流跟这段导体两端的电压成正比，跟这段导体的电阻成反比，这就是欧姆定律。

标准式：

（变形公式： ;）

公式中物理量的单位：I：电流，单位是安培（A）。U：电压，单位是伏特（V）。R ：电阻，单位是欧姆（Ω）。

部分电路公式：，或

(由欧姆定律的推导式【；】能得到①：电压即为电流与电阻之积；②：电阻即为电压与电流的比值。所以，这些变形公式仅作计算参考，并无具体实际意义。)

欧姆定律成立时，以导体两端电压为横坐标，导体中的电流I为纵坐标，所做出的曲线，称为伏安特性曲线。这是一条通过坐标原点的直线，它的斜率为电阻的倒数。具有这种性质的电器元件叫线性元件，其电阻叫线性电阻或欧姆电阻。

欧姆定律不成立时，伏安特性曲线不是过原点的直线，而是不同形状的曲线。把具有这种性质的电器元件，叫作非线性元件。

全电路公式：

E为电源电动势，单位为伏特(V);R是负载电阻，r是电源内阻，

单位均为欧姆符号是Ω;I的单位是安培(A).

詹姆斯·麦克斯韦诠释

詹姆斯·麦克斯韦诠释欧姆定律为，处于某状态的导电体，其电动势与产生的电流成正比。因此，电动势与电流的比例，即电阻，不会随着电流而改变。在这里，电动势就是导电体两端的电压。参考这句引述的上下文，修饰语“处于某状态”，诠释为处于常温状态，这是因为物质的电阻率通常相依于温度。根据焦耳定律，导电体的焦耳加热（Joule heating）与电流有关，当传导电流于导电体时，导电体的温度会改变。电阻对于温度的相依性，使得在典型实验里，电阻相依于电流，从而很不容易直接核对这形式的欧姆定律。

对欧姆定律的验证

B是一个电池，R是一个可调节的电阻，一个正切电流计(tangent galvanometer)与一个电阻连接在一起。端点C与一个石蜡开关K连接在一起，与静电计的其中一对象限相连；点D接地与静电计的另一对象限相连。流过导线CD的电流将被正切电流计测量，CD的电势差与象限静电计的偏转角成正比。通过电流表测量电流，象限电位表测量电位差，则依据测量结果，导体的电流强度与电位差成正比。

象限静电计：一个轻型的双叶铝叶片悬挂在象限形状的盒子的中心，相对的象限有相同的电位。叶片连接在一个轻杆上，轻杆上有一个小镜子，由扭秤头上的一根细小的石英纤维悬挂。镜子对面有一个开口的黄铜外壳，构成了这个装置。象限静电计可以用于比较两个电池的电动势；验证欧姆定律；测量高电阻；比较大电容和小电容并确定介电常数。这是通过一对象限的电位差使铝叶片偏转来实现的。偏转角度是通过将灯照在镜子上来测量的，镜子可以将光线反射到一定距离外的刻度上。

并联与串联

在串联电路中，流过电路的电流是相同的，根据欧姆定律

因此在串联电路中，电路的总电阻是

在并联电路中，各支路两端的电压是相同的，因此根据欧姆定律

交流电

电感

一般情况下，可以认为电路元件的电感与电流无关。当正弦交流电通过电感时，感应电动势也是随时间正弦变化的。如果通入电感的电流为，那么相应地电压是

类似电阻的定义，感抗是交流电压与电流之比，即

其中表示电压的相位相比电流超前。感抗的单位是欧姆。在分析交流电路时，串联和并联电路中电阻、感抗、容抗的叠加法则是相同的，对电阻分析的方法对于感抗和容抗均适用，只不过感抗和容抗均是复数。电路中总的相位变化是总阻抗的相位。

交流电频率越高或者电感越高，感抗越高，通过电感频率非常高的那部分电流可以认为已被“滤除”。因此电感在交流电路中有过滤高频信号的作用。

电容

考虑正弦交流电通入电路，电源电压随时间的变化是一个正弦函数，电容器上电流和电压关系是

类似电阻的定义，容抗是交流电压与电流之比，即

其中表示电压的相位相比电流落后。容抗的单位是欧姆。在分析交流电路时，串联和并联电路中电阻、感抗、容抗的叠加法则是相同的，对电阻分析的方法对于感抗和容抗均适用，只不过感抗和容抗均是复数。电路中总的相位变化是总阻抗的相位。

交流电频率越低，容抗越高；通过电容频率非常低的那部分电流可以认为已被“滤除”。因此电容在交流电路中有过滤低频信号的作用。

Drude模型

Drude模型给出了欧姆定律的一种微观解释，其核心运动学方程如下

其中等号右边第一项是电磁场的力，第二项中是平均自由程，描述了电子之间的碰撞。Drude模型很好地描述了金属中的自由电子的行为，适用于没有复杂能带结构的金属。Drude模型的核心假设如下：

1.假设电子之间的相互租用只有碰撞

2.Drude模型研究的是金属中的自由电子

3.电子在两次碰撞之间直线运动，电子碰撞相隔的平均时间是$ au $，具有无记忆泊松分布

4.电子与外界环境的相互作用只有电子和无法穿透的离子核碰撞

5.碰撞后，电子速度的方向仅由局部温度决定，与碰撞前电子速度无关，而且电子碰撞后立即与局部温度处于平衡状态

以下是Drude模型对于直流场和交流场的数学推导

直流场

可以近似认为直流电路中的电场是恒定的；而且电子的热运动速度非常快，因此在两次碰撞之间因为电场积累的动量非常小。假设平均时间发生一次碰撞，那么平均每个电子在两次碰撞之间由于电场作用积累的动量是

相比于热运动，电子定向漂移的速度很慢，而热运动是无序的，动量的平均值是0。因此可以假设碰撞时电子的平均动量是。电流密度的表达式是，因此可以得到欧姆定律的形式

交流场

交变电流的波形通常是正弦的。即使波形不是正弦的，也可以通过傅里叶分析将交变电流分解成正弦交流电的线性叠加。在正弦交流电中，电场和电流随时间的变化是正弦的

代入运动方程，得到

根据电流密度表达式，可以得到欧姆定律的微观表达式

因此电导率是

虚部表示电流滞后于电场，物理解释是电子需要时间来相应电场的变化。

实验验证

欧姆第一阶段的实验是探讨电流产生的电磁力的衰减与导线长度的关系，其结果于1825年5月在他的第一篇科学论文中发表。在这个实验中，他碰到了测量电流强度的困难。在德国科学家施威格发明的检流计启发下，他把奥斯特关于电流磁效应的发现和库仑扭秤方法巧妙地结合起来，设计了一个电流扭力秤，用它测量电流强度。欧姆从初步的实验中发出，电流的电磁力与导体的长度有关。其关系式与今天的欧姆定律表示式之间看不出有什么直接联系。欧姆在当时也没有把电势差（或电动势）、电流强度和电阻三个量联系起来。

在欧姆之前，虽然还没有电阻的概念，但是已经有人对金属的电

导率（传导率）进行研究。欧姆很努力，1825年7月，欧姆也用上述初步实验中所用的装置，研究了金属的相对电导率。他把各种金属制成直径相同的导线进行测量，确定了金、银、锌、黄铜、铁等金属的相对电导率。虽然这个实验较为粗糙，而且有不少错误，但欧姆想到，在整条导线中电流不变的事实表明电流强度可以作为电路的一个重要基本量，他决定在下一次实验中把它当作一个主要观测量来研究。

1826年，欧姆用上面图6中的实验装置导出了他的定律。在木质座架上装有电流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盘，s是观察用的放大镜，m和m'为水银杯，abb'a'为铋框架，铋、铜框架的一条腿相互接触，这样就组成了温差电偶。A、B是两个用来产生温差的锡容器。实验时把待研究的导体插在m和m'两个盛水银的杯子中，m和m'成了温差电池的两个极。

x=q/(b+l)式中x表示流过导线的电流的大小，它与电流强度成正比，A和B为电路的两个参数，L表示实验导线的长度。

1826年4月欧姆发表论文，把欧姆定律改写为：x=ksa/ls为导线的横截面积，K表示电导率，A为导线两端的电势差，L为导线的长度，X表示通过L的电流强度。如果用电阻l'=l/ks代入上式，就得到X=a/I'这就是欧姆定律的定量表达式，即电路中的电流强度和电势差成正比而与电阻成反比。

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