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欧拉线

莱昂哈德·欧拉提出的理论

三角形的外心、重心、九点圆圆心和垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。(且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半，且九点圆圆心为外心与垂心连线的中点)。

定义
莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
如图1，欧拉线（图1中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。
注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。
证法
证法1
已知H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心，
D,F为BC,AB中点，E,M为BC,AB上的垂足。求证:G在OH所在直线上。
证明:连结OG,再连结OF,OD.
∵O为△ABC的外心，OD⊥BC.又∵AH⊥BC,∴OD//HA，则∠ODG=∠HAG.①
连结FD，FD为△ABC的中位线，则DF:AC=1:2且DF∥AC，所以∠FDG=∠GAC.
②－①，得∠ODF=∠HAC.同理，∠OFD=∠HCA.∴△OFD∽△HCA.则OD:HA=DF:AC=1:2.③
G为重心，根据中线性质，GD:GA=1:2.④
又∠ODG=∠HAG.⑤
结合③④⑤△OGD∽△HGA,则∠OGD=∠AGH,
因为G在AD上，∴∠AGH+∠DGH=180°,则∠OGD+∠DGH=180°,即O、G、H三点共线，得证.
补充:
由上述过程，得到结论:GH=2GO，即HG=2/3HO，GO=1/3HO。令HO中点即九点圆圆心为Q，则QO=QH=1/2HO.
∴QG=QO-GO=1/6HO,则GO=2QG.
综合概述，HO=2QO，HG=2GO ，GO=2QG.
取
证法2
还是向量做法，
设△ABC的外心，重心，垂心分别为O，G，H。作△ABC的中点三角形DEF
∵OD⊥AC
∴OD⊥EF
同理OE⊥DF，OF⊥DE
∴O是△DEF的垂心。
又EF∥AC，DF∥AB，DE∥BC且△ABC∽△DEF
∴向量HB=-2向量OD，向量HA=-2向量OF，向量HC=-2向量OE
∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC
又向量BG=2/3向量BD=1/3（向量BA+向量BC）
同理向量CG=1/3（向量CA+向量CB），向量AG=1/3（向量AB+向量AC）
∴向量BG+向量AG+向量CG=向量0
向量HG=向量HA+向量AG=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG
向量OG=向量OA+向量AG=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG
∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC，3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC
∴向量HG=-2向量OG
证法3
如图2所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC
∴AH∥OM
连接OB、OC，易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM
∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径）
又连接BH并延长交AC于D，则BD⊥AC
∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC
∴AH=2OM
设OH和AM交于G，则△AHG∽△MOG
∴AG:GM=AH:OM=2:1
∴G是△ABC的重心，即O、H、G三点共线，且GH:GO=AG:GM=2:1
应用
1 ： 平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。
因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。
这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。
取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。
2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
4：在△ABC中，点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点，连接 DE,EF,FD，则△ABC与△DEF 的欧拉线重合。
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