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九点圆

数学概念

在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。

定义
任意三角形三条高线的垂足、三边中点以及顶点与垂心的三条连线的中点，共九点都在半径为1/2R(三角形外接圆半径)的圆上，且圆心是外心与垂心所连线段的中点。这个圆称为九点圆，这是庞斯莱命名的。
历史
数学家欧拉在1765年就发现了九点圆，因此人们称之为“欧拉圆”。这是几何学中很著名的问题，在18世纪与19世纪之交已广为流传。1804年英国的培亚敏俾凡在雷榜《算理之库》卷一第十八章中，正式提出“九点”问题，布德卫斯与韦唐给出了证明。1821年格盖尼和1822年彭色列先后正式发表这一问题。1822年德国人费尔巴哈在《直角三角形的一些特殊点的性质》里，发表了自己的证法，并且说九点圆与内切圆及三个旁切圆相切。这就是人们通常所称的“费尔巴哈定理”。1827年维兹在《哲学杂志》发表一篇论文，对九点圆进行了比较详细的论述。
证明
如图1所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。
连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。
显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。
又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。
综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。
接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。
位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。
这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。
性质
九点圆具有许多有趣的性质，例如：
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；
4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。
5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
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