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正则点

微分几何概念

正则点是微积分中的一个重要概念，它用来描述曲线或曲面的“光滑程度”。

定义
定义一：
对于一个曲面 ,若函数 在 点处连续可微，且 ,则称 为曲面 的一个正则点。
若一个曲面上的所有点均为正则点，则称这个曲面为正则曲面（光滑曲面）。
定义二：
对于曲线 上的一点 ,若 在 均连续可微，且 ,则称 为曲线 的一个正则点。
若一条曲线上的所有点均为正则点，则称这条曲线为正则曲线（光滑曲线）。
定义三：
设T∈B(X)，λ∈C如果λI一T有有界的逆算子，则称复数λ是算子T的正则点；否则(即λI一T无有界逆算子)，称λ为T为的谱点．记ρ(T)是T的全体正则点之集，σ(T)是T的谱，当λ∈ρ(T)时，称算子
为T的预解算子(或预解式)．显然σ(T)=C\u03c1(T)．
定义四：
设Г=(I,f)为C^p类的简单参数弧,p≥1,而M0=f(t0)为Г的一点.对[1,p]的任一元素q,设Tq(M0)为由向量 f′(t0),f″(t0),…,f^(q)(t0)所生成的向量子空间. 称M0是q阶正则的,如果dimTq(M0)=q.在此条件下,M0也是严格小于q的任意阶正则的. 如果Γ的所有点都是q阶正则的,则称Γ是q阶正则的. 正则点的概念只依赖于对应Γ的几何弧. (见R^n的子流形.)
设∑=(D,f)为d维C^p类的简单参数叶,p≥1,而M0=f(x0)为∑的一点.称M0是一阶正则的,如果 的秩为d. 如果∑的所有点都是一阶正则的,则称∑是一阶正则的. 正则点的概念只依赖于对应∑的几何叶.
设P为系数取自交换体K中含两个未定元的多项式.以P(x,y)=0为方程的代数曲线上的点称为是正则的,如果P在该点的微分不为零. 当K=R时,所考察的代数曲线在这样点的邻域上是R^2的一个子流形. 前面的定义立刻能推广到代数超曲面上.
相关定理
定理 假设f∈H(U)，且幂级数
的收敛半径为1．则f在单位圆周T上至少有一个奇点．
定义 若f∈H(U)且T的每一点都是f的奇点，则T称为f的自然边界·在这种情形下．f没有到真正包含U的任何区域的全纯开拓．
定理 假设λ， 及 是正整数，p1
λ ﹥(λ+1) (k=1,2,3,...). (1)
假设
的收敛半径为1，且对某个k，当
注意整个序列{ (z)}不能在 外任何一点收敛，空隙条件(1)保证了存在收敛的子序列在β的邻域，因而在 外某些点收敛．这种现象称为过度收敛．
定理 假设是λ个正整数，{ }是一个正整数序列，满足 （1+1/λ） (k=1,2,3,...). 且幂级数
的收敛半径为1，则f以T作为它的自然边界．
定理 假设Ω是一区域，L是一条直线或一段圆弧，Ω—L是两个区域Ω1及Ω2的并，f在Ω内连续，且f在Ω1及Ω2内均全纯，则f在Ω内全纯．
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