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正十二面体

几何学术语

正十二面体是由12个正五边形所组成的正多面体，它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面体还是截顶五方偏方面体的特例。其四维类比为正一百二十胞体。

性质
面的图形：正五边形
面的数目：12
边的数目：30
顶点数目：20
二面角角度：如果正十二面体棱长为a：
表面积：
体积：
外接球半径：
内切球半径：
中交球半径：
外接球半径：
内切球半径：
中交球半径：
（在这里φ是黄金分割数，φ=）
注意到棱长为a的正十二面体的外接球同样外接于棱长为φa的立方体，并且其内切球半径（也即面心距）等于棱长为φa的正五边形的边心距。
对偶多面体：正二十面体
坐标系
如果我们以正十二面体的形心为原点建立三维直角坐标系，那么其20个顶点可被描述为：
(0,±φ,±1/φ)
(±1/φ,0,±φ)
(±φ,±1/φ,0)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2，是黄金分割数，也被写作τ，约等于1.618。
该正十二面体棱长为/φ=√5–1。其内接球半径正好为√3。
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