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殆复结构

复几何术语

殆复结构，也称近复结构，它是殆复流形上的一种特殊结构。殆复流形是一个在每一个点的切空间上有个光滑的线性的复结构的光滑流形。流形有殆复结构是一个流形是殆复流形的必要不充分条件。每一个复流形都是一个殆复流形，殆复流形在辛几何中有重要应用。殆复流形这个概念是在20世纪40年代由Ehresmann和Hopf提出的。

定义
设V为实有限维向量空间，则V的一个满足I2=id的自同态I称为V的殆复结构。
殆复流形
2维实流形上若有(1,1)型张量，使任取，为的点的切空间上的线性同构，且，则称为殆复结构，而称为殆复流形。
性质
若V为复向量空间的底空间，则定义了V上一个殆复结构。反之，V上一个殆复结构也可使V为复向量空间的底空间。
若I为殆复结构，则I∈GL(V)。
V的殆复结构诱导出V上自然的定向。若V有殆复结构，则其维数必然为偶数。故殆复流形必是偶数维的可定向流形。但是，偶数维和可定向的条件并不足以保证流形有殆复结构.例如，埃雷斯曼(Ehresmann, C.)和霍普夫(Hopf , H.)证明了四维球不能有殆复结构.
每个复流形都是一个殆复流形，但是具有殆复结构的微分流形并不一定是复流形；
若和分别表示和上的自然殆复结构，从到上的光滑映射保持殆复结构的充分必要条件为:是一个全纯映射。
殆复结构的挠率张量
在每一点是余切空间的一个基，二次外形式
其中
上式又可写成
其中
()是一个以矢量为值的次形式，我们称它为殆复结构的挠率张量。
当殆复结构的挠率为0，便说殆复结构是可积的。
定理1：在一个实解析的维流形上，为了殆复结构是一个复流形的自然复结构，充分必要条件是殆复结构的挠率等于零。
定理2：为了上一个殆复结构没有挠率，充分必要条件为对于任何局部矢量场有
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