水平集方法

用于界面追踪和形状建模的数值技术

水平集方法（Level Set Method）是一种用于界面追踪和形状建模的数值技术.水平集方法的优点是可以在笛卡尔网格（Cartesian grid）上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化（这是所谓的欧拉法（Eulerian approach））。水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的拓扑结构改变.例如当物体的形状一分为二，产生空洞，或者相反的这些操作.所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具，例如膨胀中的气囊，掉落到水中的油滴。

简介

水平集方法（Level Set Method）是一种用于界面追踪和形状建模的数值技术。水平集方法的优点是可以在笛卡尔网格（Cartesian grid）上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化（这是所谓的欧拉法（Eulerian approach））。水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的拓扑结构改变。例如当物体的形状一分为二，产生空洞，或者相反的这些操作。所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具，例如膨胀中的气囊，掉落到水中的油滴。

水平集方法

理解水平集方法的最简单有效地方式是先学习相应的例子，然后学习技术性很强的定义。右侧的图片示例了水平集的几个重要思想。在左上角有一个形状--由一个良性边界包围的有界区域。在它的下面，红色的曲面是相应的水平集函数的图像，的某个水平面决定了左上角的形状，假设其中的蓝色平面即为x-y平面，则形状的边界可以表示为的零水平集，并且该形状是平面上满足大于等于零的点的集合。

在上面的一行，形状改变其拓扑结构，分裂为两个形状。如果用边界曲线参数表示形状，这一演化过程是很难表达的。这需要一个算法能够检测到形状分裂的时刻，然后为分裂后的曲线构造新的参数。另一方面，从下面的一行可以看出水平集函数仅仅是向下方移动了一点。由于在直接法中我们需要监视所有形状可能发生的变化情况，水平集方法处理形状曲线要比直接方法容易得多。

在二维情况下，水平集方法意味着将平面上的闭曲线(正如示例中的形状)表示为二维辅助函数的零水平集

然后通过函数隐式的处理曲线这一函数便被叫做水平集函数。假设在曲线的内部取正值，在曲线的外部取负值。

水平集方程

如果零水平集以速度v沿着其法线运动，这一运动可以表示为水平集函数的哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）：

这是一个偏微分方程，并且可以求得数值解，例如可以在笛卡尔网格上采用有限差分法。

然而，水平集方程的数值解需要复杂的技术。简单的有限差分法会很快导致不收敛。迎风方法，诸如Godunov方法前进缓慢;然而在水平对流场中，水平集方法不保持水平集的体积和形状的守恒。

历史

美国数学家Stanley Osher和James Sethian于20世纪80年代开发出了水平集方法。这一方法在许多学科广泛使用，例如图像处理，计算几何，最优化和计算流体力学。

大量的有关水平集数据结构被开发出来，使得水平集方法在计算中的应用变得更加方便。

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