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波前集

微局部分析中的概念

波前集(wavefront sets)是微局部分析中最基本的概念。在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 f 的波前集WF(f) 在奇异支集singsupp(f) 的基础上进一步刻画了f的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

定义
在欧式空间的一个区域中，一个分布在一个点处的奇异纤维，作为的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，不属于当且仅当存在紧支集光滑函数以及的一个锥邻域（在正实数乘法下不变）使得，并且在中有如下估计：对于任意正整数N ，存在正常数使得：
（我们经常将这个估计写为。）
f的波前集定义为：
由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形X 上的分布 f的波前集为余切丛去掉零截面的一个锥子集。
如果有Schwarz核，定义为：
对于拟微分算子， 可以验证包含于的对角线中。并且如果我们定义 如下：当且仅当在的一个锥邻域中，A的象征满足估计。
那么我们有当且仅当。
等价定义
Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：是所有满足如下性质的点在中的补集： 存在的锥邻域 使得对于任意的满足的拟微分算子， 有。
另一个有用的等价定义用到FBI变换。
性质
（1） 如果记为余切丛上自然投影，则。
（2） 对于拟微分算子，。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子，。
（3） 如果是一个光滑映射，记为f 的法丛。如果满足，那么我们可以“唯一的”定义u在f 下的拉回。并且我们有。 特别的，如果f是一个微分同胚，。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。
（4）令如果将视作从到的一个关系，并且记。这里和分别是X和Y上余切丛的零截面。则如果满足，那么我们可以“唯一的”定义。并且我们有。
（5）如果和满足，那么我们可以“唯一的”定义复合算子。并且我们有：。
这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。
应用及推广
波前集可用于函数、振荡积分、余法分布、拉格朗日分布、分布的运算、拟微分算子与微局部化以及奇异性的传播。
以上所定义的波前集描述的是分布的关于正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集，关于Gevery类的波前集，关于Sobolev空间的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。
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