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泰勒公式

数学、物理名词

在数学中，泰勒公式（英语：Taylor'sFormula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了余项即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

定义
如果给定了在点x0具有所有前n阶导数的函数f(x)，我们称多项式：
为函数f(x)在点x0的n阶泰勒多项式。
历史发展
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒(Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他的老师梅钦（John Machin）信中提出的著名公式——泰勒公式。1717年，泰勒用泰勒公式求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿插值公式发展而来，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑，在已知函数某一点各阶导数的前提下，泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可以展开成幂级数。因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。
泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
余项
余项定义
我们将多项式与函数之间的偏差：称为泰勒公式的n阶余项。
例子
佩亚诺余项
设是以为一个端点的闭区间。如果函数在点有全部前n阶导数，则：
拉格朗日余项
如果函数 f 和它的前 n 阶导数在[x0,x]上连续，并且 f 在(x0,x)有 n+1 阶导数，则存在,使得：
柯西余项
如果函数 f 和它的前 n 阶导数在[x0,x]上连续，并且 f 在(x0,x)有 n+1 阶导数，则存在,使得：
积分型余项
如果函数 f 和它的前 n+1 阶导数在[x0,x]上连续,则：
证明
佩亚诺余项
因为泰勒多项式是根据它的函数 f 在点x0的全部前 n 阶导数分别相等的条件构造出来的，所以。于是，可以用以下引理证明佩亚诺余项：
引理1：设是以为一个端点的闭区间。如果函数在点x0有全部前n阶导数，并且,则当时，。
我们用数学归纳法进行证明。
当 n=1 时，结论得自函数在点x0可微的定义，即：又因为, 所以有：
假设结论对于阶数已经得到证明，我们来证明它对于阶数也成立。
我们预先指出，因为：
所以的存在要求函数在 E 上 的一个邻域中有定义。在需要时缩小闭区间 E ,可以预先认为函数在以为一个端点的闭区间 E 上有定义。因为，所以函数在 E 上有导数, 并且根据条件，我们有：
因此，根据归纳假设，
再利用拉格朗日中值定理，得到：
其中，即，而当时,。于是，当时，同时有，并且。又因为
这就验证了
于是，我们用归纳原理证明了引理1. 从而证明了佩亚诺余项公式。
积分型余项
根据牛顿-莱布尼兹法则，我们有：其中
柯西余项
可以用以下引理证明：
引理2：如果函数 f 和它的前 n 阶导数在[x0,x]上连续，并且 f 在（x0,x）有 n+1 阶导数，则对于在[x0,x]上连续并且在（x0,x）上有不为0的导数的任何函数,存在,使得：
证明如下：
在[x0,x]上考虑以 t 为自变量的辅助函数：
更详细地写出的定义：
从函数的定义和定理的条件可见，F 在[x0,x]上连续，在（x0,x）上可微，并且：
对[x0,x]上的两个函数应用柯西中值定理，我们求出,使得：
把的表达式代入此式，再注意到余项的定义和 F 的定义，得到，引理2得证。
在引理2中取, 我们就证明了柯西余项公式。
拉格朗日余项
在引理2中取, 我们就证明了拉格朗日余项公式。
由于引理2的证明运用了相当高的技巧，我们下面用积分学方法更加自然地证明一种较弱的拉格朗日余项（其中较弱是因为我们额外要求了f 的n+1 阶导数在[x0,x]上连续）：
如果函数 f 和它的前 n+1 阶导数在[x0,x]上连续，则存在,使得：
考虑积分型余项：
我们指出，函数在[x0,x]上不改变符号，且在[x0,x]上连续，根据积分的第一中值定理，存在,使得：
命题得证。
泰勒级数
定义：如果函数f(x)在点x0有任意阶导数，则级数
称为函数f在点x0的泰勒级数。
不应该认为每个无穷阶可微函数的泰勒级数都在点x0的某个邻域内收敛。
也不应该认为，如果泰勒级数收敛，它就一定收敛到生成它的函数。仅仅对于解析函数，才存在点x0的某个邻域，泰勒级数收敛到生成它的函数，这也正是解析函数的定义。
常见泰勒公式
我们给出以下函数在处的泰勒公式：
应用
求高阶导数
例：求函数 lncosx 在x=0 处的前六个导数的值
首先求出 lncosx 在 x=0 处的泰勒展开式：
利用泰勒多项式的唯一性，如果：
则，即。
于是，我们得到 lncosx 的0至6阶导数分别为：0,0,-1,0,-2,0,-16。
渐近估计
例：写出能够用来计算函数sinx 在[-1,1]上的值的多项式，使绝对误差不超过10-3。
可以在点x0=0的邻域内展开函数 sinx ，从而得到适当次数的泰勒多项式作为这样的多项式。因为：
其中，按照拉格朗日余项公式，
所以当时，
由于，当时，，所以有
它在[-1,1]具有所需要的精度。
在其他领域的应用
在物理学中，泰勒公式可以用于描述运动物体的位置、速度和加速度等物理量之间的关系。例如，在牛顿力学中，可以使用泰勒公式来近似计算天体运动的轨迹。
在工程学中，泰勒公式可以用于设计和优化机械系统以及控制系统。例如，在电子工程中，可以使用泰勒公式来逼近非线性电路的行为，并预测电路的响应，从而设计和优化电路系统。
在经济学中，泰勒公式可以用于分析和预测经济变量之间的关系。例如，在宏观经济学中，可以使用泰勒公式来研究货币供给与价格水平之间的关系。
在计算机科学中，泰勒公式可以用于实现数字求解器和数值方法。例如，在图像处理领域，可以使用泰勒公式来近似分形几何。
总之，泰勒公式是一种重要的数学工具，广泛应用于不同学科和领域中。通过使用泰勒公式，我们可以近似描述和分析物理、工程、经济和计算机系统等过程和现象，从而实现对它们的预测、优化和控制。泰勒公式对于我们深入了解自然界和人类社会有着重要的作用，也有助于我们在实践中应用和创新相关技术和方法。
推广
泰勒公式可以推广到赋范线性空间上，我们有以下定理：
设是赋范线性空间 X的点 x 的邻域到赋范线性空间 Y 的映射。如果 f 在 U 中有前n-1 阶导数，而在点 x 有 n 阶导数，则：
其证明过程见参考文献
泰勒公式种类繁多，上式只是一种形式，但它已经是对非常一般的映射类写出的公式。
将上述定理应用到赋范线性空间上，对于，我们给出具有佩亚诺余项的泰勒公式：
其证明过程见参考文献
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