泰森多边形

科技术语

泰森多边形又叫沃洛诺伊图（Voronoi diagram），得名于Georgy Voronoi，是一组由连接两邻点线段的垂直平分线组成的连续多边形。一个泰森多边形内的任一点到构成该多边形的控制点的距离小于到其他多边形控制点的距离。

简介

泰森多边形是对空间平面的一种剖分，其特点是多边形内的任何位置离该多边形的样点（如居民点）的距离最近，离相邻多边形内样点的距离远，且每个多边形内含且仅包含一个样点。由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。

数学描述

设平面区域B上有一组离散点 (i = 1,2,3，…，k ; j = 1,2,3，…，k ，k为离散点点数)，若将区域B用一组直线段分成k个互相邻接的多边形，使得:

（1）每个多边形内含有且仅含有一个离散点；

（2）若区域B 上任意一点位于含离散点的多边形内，不等式（1）

在时恒成立；

（3）若点位于含离散点的两个多边形的公共边上，则等式（2）

成立。

由此得到的多边形叫泰森多边形。用直线连接每两个相邻多边形内的离散点形成的三角形叫泰森三角形。

建立步骤

建立泰森多边形算法的关键是对离散数据点合理地连成三角网，即构建Delaunay三角网。建立泰森多边形的步骤为：

1、离散点自动构建三角网，即构建Delaunay三角网。对离散点和形成的三角形编号，记录每个三角形是由哪三个离散点构成的。

2、找出与每个离散点相邻的所有三角形的编号，并记录下来。这只要在已构建的三角网中找出具有一个相同顶点的所有三角形即可。

3、对与每个离散点相邻的三角形按顺时针或逆时针方向排序，以便下一步连接生成泰森多边形。设离散点为o。找出以o为顶点的一个三角形，设为A；取三角形A除o以外的另一顶点，设为a，则另一个顶点也可找出，即为f；则下一个三角形必然是以of为边的，即为三角形F；三角形F的另一顶点为e，则下一三角形是以oe为边的；如此重复进行，直到回到oa边。

4、计算每个三角形的外接圆圆心，并记录之。

5、根据每个离散点的相邻三角形，连接这些相邻三角形的外接圆圆心，即得到泰森多边形。对于三角网边缘的泰森多边形，可作垂直平分线与图廓相交，与图廓一起构成泰森多边形。

特征

1、每个泰森多边形内仅含有一个离散点数据；

2、泰森多边形内的点到相应离散点的距离最近；

3、位于泰森多边形边上的点到其两边的离散点的距离相等。

面积

由于泰森多边形面积随点集的分布而发生变化，因此可用多边形面积的变异系数CV值（即泰森多边形面积的标准差与平均值的比）来衡量凸多边形面积的变化程度，从而评估样点的分布类型。

CV值公式见式（1）、式（2）:

式（1）：

式（2）：

CV=

式中，Si是第i个多边形的面积，S为多边形面积的平均值，n是多边形面积的个数，R为方差.当点集分布类型为“均匀”时，多边形面积变化小，CV值就小，当点集为“集群”分布时，集群内的多边形面积较小，而集群间的多边形面积较大，CV值也大.Duyckaert提出了三个建议值：当点集为“随机分布”时，CV=57 %(包括33%.--64% ) ；当点集为“集群”分布时，CV=92%(包括＞64% );当点集为“均匀分布”时，CV=29%(包括＜＜33% )。要注意的是，位于边缘上的点的泰森多边形面积直接受到人为划定边界的影响，边界越大，边缘点的泰森多边形面积也越大，反之边缘点的泰森多边形面积越小，所以在计算泰森多边形面积的CV值时，要考虑边界的影响。

作用

泰森多边形可用于定性分析、统计分析、邻近分析等。例如，可以用离散点的性质来描述泰森多边形区域的性质；可用离散点的数据来计算泰森多边形区域的数据；判断一个离散点与其它哪些离散点相邻时，可根据泰森多边形直接得出，且若泰森多边形是n边形，则就与n个离散点相邻；当某一数据点落入某一泰森多边形中时，它与相应的离散点最邻近，无需计算距离。在泰森多边形的构建中，首先要将离散点构成三角网。这种三角网称为Delaunay三角网。北京奥运会的水立方即是基于此原理设计。

发展

变形泰森多边形是泰森多边形在社会经济应用中的改进和拓展，变形泰森多边形由变形区和非变形区 2个部分组成，变形区是泰森多边形的局部变形，非变形区是原始的泰森多边形。其主要特点如下：

主要特征1：存在2个分区。变形泰森多边形由变形区和非变形区2个部分组成，变形区由泰森多边形局部变形而来，非变形区是原始的泰森多边形。

主要特征 2：单个多边形内，点数量具有差异。变形区中，单个多边形内，点数量有 2个或以上；非变形区中，单个多边形内，点数量仅有一个。

主要特征3：适用于社会经济点空间划分研究。社会经济点距离很近，且各点实际服务（影响）边界相对模糊时，变形区能够科学准确地说明该特征。非变形区适用于社会经济点距离较大，且各点服务（影响）边界相对明显的情况。

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