洛伦兹曲线

收入分配曲线

洛伦兹曲线（Lorenz curve），也译为“劳伦兹曲线”。就是指在一个总体（国家、地区）内，以“最贫穷的人口计算起一直到最富有人口”的人口百分比对应各个人口百分比的收入百分比的点组成的曲线。为了研究国民收入在国民之间的分配问题，美国统计学家（或说奥地利统计学家）M.O.洛伦兹（Max Otto Lorenz，1876- 1959）1907年（或说1905年）提出了著名的洛伦兹曲线。

简介

洛伦兹曲线用以比较和分析一个国家在不同时代或者不同国家在同一时代的财富不平等，该曲线作为一个总结收入和财富分配信息的便利的图形方法得到广泛应用。通过洛伦兹曲线，可以直观地看到一个国家收入分配平等或不平等的状况。

首先将全社会的人按照收入升序排序，然后计算累计前 X% 的人的收入占社会总收入的百分之几，这个数值就是对应 X 的 Y，洛伦兹曲线就是这一函数的图像。

例如：假设收入最低的前1%的人其收入占比为1%，前2%的人收入占比为2%……前99%的人收入占比为99%，那么洛伦兹曲线就与收入分配绝对平等直线重合，此时全社会所有人的收入都是一样的。再如：假设收入最低的前99%的人其收入占比为50%，那就意味着剩下1%的人拿走了全社会50%的收入，此时洛伦兹曲线严重偏离收入分配绝对平等直线。显然，社会收入越平均，洛伦兹曲线越接近收入分配绝对平等直线。

从坐标原点到正方形相应另一个顶点的对角线为均等线，即收入分配绝对平等线，这一般是不存在的。实际收入分配曲线即洛伦兹曲线都在均等线的右下方.

详细说明

横纵轴

图1所示中横轴OH表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵轴OM表示收入的累积百分比，弧线（O-E1-E2-E3-E4-L）为洛伦兹曲线。

洛伦兹曲线

洛伦兹曲线的弯曲程度有重要意义。一般来讲，它反映了收入分配的不平等程度。弯曲程度越大，收入分配越不平等，反之亦然。特别是，如果所有收入都集中在一人手中，而其余人口均一无所获时，收入分配达到完全不平等，洛伦兹曲线成为折线OHL.另一方面，若任一人口百分比均等于其收入百分比，从而人口累计百分比等于收入累计百分比，则收入分配是完全平等的，洛伦兹曲线成为通过原点的45度线OL。

一般来说，一个国家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完全平等，而是介于两者之间。相应的洛伦兹曲线，既不是折线OHL，也不是45度线OL，而是像图中这样向横轴突出的弧线OL，尽管突出的程度有所不同。

将洛伦兹曲线与45度线之间的部分A叫做“不平等面积”，当收入分配达到完全不平等时，洛伦兹曲线成为折线OHL，OHL与45度线之间的面积A+B叫做“完全不平等面积”。不平等面积与完全不平等面积之比，成为基尼系数，是衡量一国贫富差距的标准。基尼系数G=A/(A+B).显然，基尼系数不会大于1，也不会小于零。

方法

尽管可根据收入分配的统计数据加以描绘，但却未能找到一种有效的方法，准确地拟合洛伦兹曲线方程并由此求出精确的基尼系数。目使用的方法主要有三种：

几何计算法

即根据分组资料，按几何图形分块近似逼近计算的方法。

间接拟合法

即先拟合求出收入分配的概率密度函数，再根据概率密度函数导出洛伦兹曲线。

曲线拟合法

即选择适当的曲线直接拟合洛伦兹曲线，常用的曲线有二次曲线、指数曲线和幂函数曲线。

利用第一种方法不能得到洛伦兹曲线的表达式，只能用来计算基尼系数，但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线，所估计的基尼系数要小于实际值，尤其在数据点较少时，误差较大。第二种方法由于计算收入分配的概率密度的复杂性，很难提出合适的概率函数。至于第三种方法，即直接用曲线方程去拟合洛伦兹曲线，应该不失为一种较好的方法，但主要的问题在于现有常用的曲线并不适用，曲线含义不明确，或拟合误差较大。

为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数，通过分析洛伦兹曲线的特性，设计出一条洛伦兹曲线方程，对洛伦兹曲线直接进行拟合。经过实例分析，拟合效果好，由洛伦兹曲线可推导出基尼系数的计算公式，计算结果精确度也很高。

性质

洛仑兹曲线具有以下的性质：

(1)P(0)=0,Q(0)=0，即0%的人口的收入占总收入的0%；而P(1)=1,Q(1)=1，即100%的人口的收入占总收入的100%。

(2)当洛仑兹曲线为45°角的0A线时，人口比重增加一个单位，相应的收入比重也增加一个单位，这表明每个人的收入相同，即收入分配是绝对平均的.直线0A成为绝对平均线.

(3)当洛仑兹曲线为0BA折线时，人口比重在增加到100%前，收入比重保持0不变，当人口比重一达到100%.收入比重马上达到100%，这表明所有收入集中在一个人手中，而其他人的收入都为零，即社会收入分配是绝对不平均的.OBA折线称为绝对不平均线。

(4)洛仑兹曲线其实是一条分布曲线，洛仑兹函数Q=Q(P)是一个分布函数.

显然，在现实生活中，资本在各经济部门之间的分配绝对平均化或绝对不平均这2种极端现象是不存在的；相反，不均等，有差异是普遍存在的，也是正常的，一般情况是介于二者之间，即洛仑兹曲线是一条介于绝对平均线和绝对不平均线之间的一条曲线。

特殊曲线

一般来说，一个国家富裕与否和民众的收入是挂钩的，但一般来说，如同欧美这样强盛的发达国家，其洛伦兹曲线依旧是十分曲线的，即在欧美，最上层的1%人口占据了社会绝大多数的财富，贫富差距十分巨大。不过，还是有例外的，这个例外就是中国．原因是中国的计划经济体制，其洛伦兹曲线并不像发达国家那样极端，在中国，通过税收政策来限制高收入群体与低收入人群的收入，从而缩小贫富差距

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