海盗分金

经济学模型

海盗分金，是一个经济模型，前提为假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”。

产生背景

经济学上有个“海盗分金”模型：是说5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，投票要超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。“海盗分金”其实是一个高度简化和抽象的模型，体现了博弈的思想。在“海盗分金”模型中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。

模型

假设前提

假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”

推理过程

推理过程是这样的：

从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。

3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。

不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。

同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了。答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。

企业中的一把手，在搞内部人控制时，经常是抛开二号人物，而与会计和出纳们打得火热，就是因为公司里的小人物好收买。

1号看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。这不正是全球化过程中先进国家的先发优势吗？而5号，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，却因不得不看别人脸色行事而只能分得一小杯羹。

不过，模型任意改变一个假设条件，最终结果都不一样。而现实世界远比模型复杂。

首先，现实中肯定不会是人人都“绝对理性”。回到“海盗分金”的模型中，只要3号、4号或5号中有一个人偏离了绝对聪明的假设，海盗1号无论怎么分都可能会被扔到海里去了。所以，1号首先要考虑的就是他的海盗兄弟们的聪明和理性究竟靠得住靠不住，否则先分者倒霉。

如果某人偏好看同伙被扔进海里喂鲨鱼。果真如此，1号自以为得意的方案岂不成了自掘坟墓。

再就是俗话所说的“人心隔肚皮”。由于信息不对称，谎言和虚假承诺就大有用武之地，而阴谋也会像杂草般疯长，并借机获益。如果2号对3、4、5号大放烟幕弹，宣称对于1号所提出任何分配方案，他一定会再多加上一个金币给他们。这样，结果又当如何？

通常，现实中人人都有自认的公平标准，因而时常会嘟嚷：“谁动了我的奶酪？”可以料想，一旦1号所提方案和其所想的不符，就会有人大闹……当大家都闹起来的时候，1号能拿着97枚金币毫发无损、镇定自若地走出去吗？最大的可能就是，海盗们会要求修改规则，然后重新分配。想一想二战前的希特勒德国吧！

而假如由一次博弈变成重复博弈呢？比如，大家讲清楚下次再得100枚金币时，先由2号海盗来分……然后是3号……

最可怕的是其他四人形成一个反1号的大联盟并制定出新规则：四人平分金币，将1号扔进大海…这就是穷人平均财富，将富人丢进海里的仇富机械平均理念。

制度规范行为，理性战胜愚昧。

如果假设变为，是10人分100枚金币，投票50%或以上才能通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。50%是问题的关键，海盗可以投自己的票。因此如果剩下两个人，无论什么方案都会被通过，即100，0。

往上推一步，3个人时，倒数第三个人知道只剩两个人时的分配情况，因此它会团结最后一个人，给他一个金币

“往前推一步。当前加一个更凶猛的海盗P8。P10知道———P8知道他知道———如果P8的方案被否决了，游戏就会只由P9和P10来继续，而P10就一枚金币也得不到。所以P8知道，只要给P10一枚金币，P10就会同意他的方案（当然，如果不给P10一枚金币，P10反正什么也得不到，宁可投票让P8去喂鱼）。所以P8的最佳策略是：P10得1枚，P9什么也得不到，P8得99枚。

P7的情况差不多。他只要得一票就可以了，给P9一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P8的方案中P9什么也得不到。P6也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给在P7方案中什么也得不到的P8和P10一枚金币，自己留下98枚。

依此类推，最终P1的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P2方案中什么也得不到的P3、P5、P7和P9一枚金币。

结果

结果，“海盗分金”最后的结果是P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8、P9、P10各可以获得96、0、1、0、1、0、1、0、1、0枚金币。

在“海盗分金”中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是，事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。

真地是难以置信。P1看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还获得了最大收益。而P10，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，但却因不得不看别人脸色行事，结果连一小杯羹都无法分到，却只能够保住性命而已。

演绎推理

假设

5个海盗抢到了100枚金币，每一颗都一样的大小和价值。

他们决定这么分：

具备条件

每个海盗都是很聪明的人，都能很理智的判断得失，从而做出选择。

问题

第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化?

（如果在规则中加上下面一条会更加完善：海盗在自己的收益最大化的前提下乐意看到其他海盗被扔入大海喂鲨鱼。不加也说的过去，因为其他海盗被扔入大海喂鲨鱼符合每个海盗的最大化利益。）

使用

首先到了4号提出的方案的时候肯定是最终方案，因为不管5号同意不同意都能通过，所以4号5号不必担心自己被投入大海。那此时5号获得的金币为0，4号获得的金币为100。

5号：因为4号提方案的时候，自己获取的金币为0 。所以只要4号之前的人分配给自己的金币大于0就同意该方案。

4号：如果3号提的方案一定能获得通过（原因：3号给5号的金币大于0， 5号就同意因此就能通过），那自己获得的金币就为0，所以只要2号让自己获得的金币大于0就会同意。

3号：因为到了自己提方案的时候可以给5号一金币，自己的方案就能通过，但考虑到2号提方案的时候给4号一个金币，2号的方案就会通过，那自己获得的金币就为0。所以只要1号让自己获得的金币大于0就会同意。

2号：因为到了自己提方案的时候只要给4号一金币，就能获得通过，根本就不用顾及3 号 5号同意不同意，所以不管1号怎么提都不会同意。

1号：2号肯定不会同意。但只要给3号一块金币，5号一块金币（因为5号如果不同意，那么4号分配的时候，他什么都拿不到）就能获得通过。

所以答案是

98，0，1，0，1。

推理过程

推理①：

假设①：1、2、3号已被扔入海中，由4号分宝石。

由假设①推理出：

结论① ：4号的方案必为100、0，且必定通过。（故4号不可能被扔入海中，与假设①不矛盾）

推理②：（要用到推理①的结论）

假设②：1、2号已被扔入海中，由3号分宝石。

由结论①、假设② 推理出：

结论②： 3号进行“推理①”的推理，得到结论①后，知道了：自己只需给5号多于0个宝石，即方案为99、0、1，其方案就必定通过。（故3号不可能被扔入海中，与假设②不矛盾，只要与假设②不矛盾就行了，与假设①没有丝毫关系，因为它们是两个互相独立的推理。）

余下的推理依次类推。

本题推广

有X（1=

则1号海盗的最大化收益 Y =101-（（X+1）/2所得数取整）。

（当X=201及X=202时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）

Z（2=

对于X＞202时情况，可先在X=500个的情况下进行讨论，然后再作推广。

依然是使用倒推法。

203号海盗必须获得102张赞成票，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论203号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

204号海盗必须获得102张赞成票，203号为了能保住性命，就必须让204号的方案通过，避免由203号自己来提出分配方案，所以无论204号海盗提出什么样的方案，都可以得到203号的坚定支持。这样204号海盗就可以保命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及用100个宝石收买到的100名同伙的赞成票，刚好达到所需的半数支持。能从204号那里获得1个宝石的海盗，必属于按照202号海盗的方案将一无所获的那102名海盗之列。

205号海盗必须获得103张赞成票，但他无法用100个宝石收买到102名同伙的支持。因此，无论205提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

206号海盗必须获得103张赞成票，他可以得到205号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论206号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

207号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号和206号的坚定支持，但他无法用100个宝石收买到101名同伙的支持。因此，无论207号提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

208号海盗必须获得104张赞成票，他可以得到205号、206号、207号的坚定支持，加上他自己1票以及收买的100票，使他得以保命。从208号那里获得1个宝石的海盗，必属于那些按照204号方案将一无所获的那104名海盗之列。

眼下可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能通过的海盗（他们的分配方案全都是把宝石用来收买100名同伙，自己连1个宝石都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提出什么样的方案都会被扔进海里。因此，为了保命，他们必会投票支持排在他们前面的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，

即200+1、200+2、200+4、200+8、200+16、200+32、200+64、200+128、200+256。即

200+2的0次幂，200+2的1次幂，200+2的2次幂，200+2的3次幂，200+2的4次幂，200+2的5次幂，200+2的6次幂，200+2的7次幂，200+2的8次幂，

即其号码等于200加2的某次幂。

对本题作更一般的推广

有X个海盗，A 颗宝石，其它规则同上。

当X< 2A+2时，

则1号海盗的最大化收益 Y=A+1-（（X+1）/2所得数取整）。

（当X=2A+1时，1号海盗的最大化收益为0，但可保命。）

Z号（2=

当X＞=2A+2时，

若X=2A+2的B次幂，则1号海盗可保命，但无收益。其他海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。

若X不等于2A+2的某次幂，设B=b是能使（X>2A+2的B次幂）成立的最大B，则（X+1-（2A+2的b次幂））号海盗可保命，但无收益。之前的海盗都会被扔到海里去喂鱼。之后的海盗的收益情况由前面讨论可知有规律，但海盗的编号不固定，对它们的表述省略。