淡收敛

概率测度的一种收敛性

淡收敛(vague convergence)是概率测度的一种收敛性。由奥地利数学家黑利(Helly，E.)选择定理的推广知，(R，B)上任一概率测度序列都有淡收敛的子序列。

概念

概率测度的一种收敛性。若{μnn((a，b])→μ((a，b])，其中：

(a，b]={(x1，x2，…，xn)：ai

[a，b]={(x1，x2，…，xn)：ai≤xi≤bi，i=1，2，…，n}

为R中有限区间，则称概率测度序列{μn}淡收敛到μ。记为：

由奥地利数学家黑利(Helly，E.)选择定理的推广知，(R，B)上任一概率测度序列都有淡收敛的子序列。如果{μn，n≥1}的一切淡收敛的子序列均淡收敛到同一极限μ，则{μn}淡收敛到μ。若μ本身是概率测度，则称{μn}弱收敛到μ。记为：

淡收敛和弱收敛的概念可以推广到一般的距离可测空间或拓扑可测空间上。

弱收敛

点列的弱收敛

定义1设X为赋范线性空间，xn，x∈X，若对有

则称{xn}弱收敛于x，记作w-.

注：设X为赋范线性空间，xn，x∈X，当时，称{xn}强收敛于x，记作s-.

性质

1.由点列强收敛可推出其弱收敛。

证明：由

可证。并且强极限存在时必等于其弱极限，反之却不然。

2.设X为赋范线性空间，xn，x∈X，则w-，当且仅当

（1）

（2）存在X*上一个稠密集Y，使得

3.设X为一致凸的赋范线性空间，则X中的点列{xn}强收敛于x0的充要条件是{xn}弱收敛于x0，且有

泛函列的弱收敛

定义3设X为赋范线性空间，X*为其对偶空间，fn，f ∈X*，若对有

则称{fn}弱收敛于T.

注：1.设X为赋范线性空间，X*为其对偶空间，fn，f ∈X*，当时，称{fn}强收敛于f，记作s-；

2.设X为赋范线性空间，X*为其对偶空间，fn，f ∈X*，若对有

则称{fn}弱*收敛于f，记作w*-.

性质

（1）

（2）存在X上的稠密集X1，使得

概率测度

概率测度是概率论、遍历理论等数学分支中常用的一种重要的有限测度。设(Ω，F)是可测空间，μ是F上的测度.若μ(Ω)=1，则称μ为概率测度，并称(Ω，F，μ)为概率空间。20世纪完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。概率测度和概率空间就是在这样的历史背景下产生的一种重要测度和测度空间。

测度

数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。

定义1：构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数mE。我们将此集函数称为E的测度。

定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函数，且ρ满足：

（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性）对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。

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