混沌

非线性科学概念

混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。又称浑沌。英语词Chaos源于希腊语，原始含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。

保守系统的混沌

力学系统可按照其能量是否守恒区分为保守系统和耗散系统；又可按照系统可否用已知数学方式表达其运动形式区分为可积系统与不可积系统两类。在一切可能的力学系统中，不可积系统无处不在，可积系统十分罕见。传统的力学教科书只讲授可积系统，没有描述出牛顿力学的真面目。不可积的力学系统的典型运动图像究竟如何，成为一个数学难题。19世纪末H.庞加莱在讨论太阳系稳定性时，首次发现三体问题不可积和三体运动轨道的复杂性。直到20世纪60年代初三位数学家A.科尔莫戈罗夫、V.阿诺尔德和J.莫塞证明了KAM定理后，才从一定意义上正面回答了部分问题。

KAM定理说的是，如果一个系统偏离可积系统足够小，总体运动图像和可积系统差不多。但KAM定理没有回答大偏离下系统的运动如何。这时系统仍然遵从确定论的牛顿力学方程，亦即只要系统精确地从某一初始点出发，其运动的轨道是完全确定的。但如果初始条件发生不论多么微小的变化，系统某些运动轨道会出现无法预料的改变。这种发生在确定性系统中的运动轨道对初始值极为敏感的貌似无序和混乱的运动，即混沌运动。一个典型的不可积的力学系统通常兼有规则运动和随机运动的两种不同区域。随着偏离可积性，随机区域逐渐扩大，终至取代规则区域。因此，从可预测性的观点看，决定性的牛顿力学实际上具有内秉的随机性。

KAM定理说明接近可积哈密顿系统的运动所具有的性质。由此开始的对哈密顿系统的研究发现，当KAM定理不适用时，系统中也出现混沌运动。在70年代，动力学系统的内在随机性理论或混沌理论以及与之相关的奇异吸引子的数学理论都迅速发展起来。有人认为，这种理论可能是最终阐明流体力学中湍流机理的一种途径，但也有人认为现今混沌理论处理的是较简单的数学模型，对于象纳维－斯托克斯方程那样的偏微分方程还无能为力，因此，对于解决湍流机理为时尚早。在物理学和其他科学领域中，也有混沌运动的各种例子。混沌现象的发现使人们对于经典力学和统计力学之间、确定论和随机论之间的沟通，在思想上是有启发的。

耗散系统的混沌

混沌运动的直观形象，在随能量不断耗散而自由度降低的耗散系统中看得更清楚。1963年美国气象学家E.洛伦茨在研究对天气至关紧要的热对流问题时，把包含无穷多自由度的热对流偏微分方程简化为三个变量的一阶非线性常微分方程组：

dx/dt=－σx+σy

dy/dt=rx－y－xz

dz/dt=bz+xy

式中变量x表示大气对流强度，y表示上升流与下降流温差，z表示垂直温度剖面变化。系数σ为普朗特数，r为瑞利数，b为量度水平温度结构与垂直温度结构衰减率之差异。洛伦茨选定σ=10，r=28，b=8/3，然后数值求解方程组。结果发现，这极度简化了的系统，出现了极为复杂的运动形式。起始值的细微变化，足以使轨道全然改观。把数值计算结果在由x,y,z支撑的三维相空间中画出来。这是一条在三维空间似乎无序地左右回旋的连续光滑曲线，它并不自我相交，呈现复杂的结构纹样。无论初始值选取在哪里，系统轨道有同一归宿，形成所谓奇异吸引子。在奇异吸引子上，如果选取任意接近的两个点为初始值，其运动轨迹以指数方式迅速分离，表现出对初值的极端敏感。具体的是，轨道左右跳动的顺序和次数完全不同。计算表明，初始位置几乎会聚在一起的10,000个点，稍后便会在图中所示的吸引子上到处分布，说明这样的系统中，由于初值的细微不同，运动是不可预测的。

确定性耗散系统运动最终局限在低维吸引子上的现象十分常见。如阻尼摆因受到阻力而停摆，其吸引子称为不动点；适当输入能量抵消耗散，钟摆仍可保持某种周期摆动，此时吸引子为极限环。这类吸引子不存在初值敏感性，故称为平凡吸引子。

洛伦茨吸引子是耗散系统中发现的第一个奇异吸引子，此后相继在许多非线性系统中找到形形色色的奇异吸引子，诸如天体运动模型中的埃农吸引子，描述非线性振动的范德波尔方程的上田吸引子，描述化学振荡的布鲁塞尔吸引子等。奇异吸引子具有一些独特的性质：①在它上面运动轨道对初值极度敏感，不可预测；②它具有分形结构，局部与整体相似。计算表明，洛伦茨吸引子的分维数为2.06。奇异吸引子还具有各态历经性，即在相空间中曲折来回穿插的运动轨道经过吸引子上的每一点。

表征混沌中无序现象的两个基本特点是：不可预言性和对于初始值的极端敏感依赖性。这是由E.洛伦茨研究天气预报中大气流动问题时首先揭示的。他通过编制程序在计算机上求解模拟地球大气的一个方程组，发现只要作为实验出发点的初始值有一个微不足道的差异，在混沌状态下同一种过程将导致截然不同的图像。而且由于不可能以无限的精度测量初始值，因此不可能预言任何混沌系统的最后结果。洛伦茨还发现，尽管混沌看起来是杂乱无章的，但仍然具有某种条理性，根据计算机输出的几千个可能的解打印的数字只是在某种状态的范围内是随机分布的。正如每日的天气可以有无穷多不可预测的组态，而逐年的气候多少保持某种稳定性。这种内在有序性的源泉是一种被数学家称之为吸引子的东西，它因具有倾向于把一个系统或一个方程吸引到某个终态而得名。洛伦茨模型的吸引子是一类奇异吸引子，方程的解将无限趋近于此奇异吸引子，来回盘旋形成浑然一体的左右两簇，宛如颤动中的一对蝴蝶翅膀（见图1）。

混沌的一个著名表述是蝴蝶效应：“南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就会在佛罗里达引起一场飓风。”

模型的复杂行为

简单原因可导致复杂后果。许多看来杂乱无章、随机起伏的时间变化或空间图案，可能来自重复运用某种简单而确定的非线性基本作用的结果。一个典型例子是极为简单的一维迭代虫口模型。

假定成虫繁殖后全部死亡，然后孵化出下一代，世代之间没有交叠。如果下一代虫口数简单正比于前一代虫口数，只要平均产卵数大于1，经过几代繁殖就会虫满为患。这就是马尔萨斯虫口论：虫口按几何级数增长。然而，随着虫口增长，群虫争夺有限食物和配偶，加之传染病因虫间接触而蔓延，虫口又会减少。产卵数正比于虫口数，虫间争斗和接触正比于虫口数平方。可用xn+1=λxn(1-xn)的迭代过程描述虫口变化，其中xn代表第n代虫口，λ是一个表示虫口增长率的参数，取值范围为0≤λ≤4。对应一个λ值，任取初值x0，根据前述迭代关系，反复迭代算出x1,x2,... 不看最初的有限个x值。它显示出了简单迭代模型的复杂行为。在0≤λ≤1时，虫口数最终为0，表明在此范围内虫种灭绝。在1≤λ≤3时，虫口数随λ单值上升，x(λ)=1－1/λ，迭代值为不动点。从3＜λ开始，出现两种不同类型的虫口变化方式：先是x(λ)在2个点之间跳跃，然后在4,8,16,…,2n个点间作周期性跳跃，表现出倍周期分岔规律，这个λ区是对初值不敏感的周期变化区；当λ≥λ∞…时存在确定的λ区内，稍微改变初值则其上的x(λ)所经历的具体数值就完全不同，这正是对初值敏感的混沌区，如果提高精度在此区可看到小的对初值不敏感的周期变化区。这种在混沌区内镶嵌的周期区称为周期窗口，其分叉图存在自相似结构。不难看出，即使如xn+1=λxn(1－xn)这样简单的迭代，由于包含非线性作用，也会表现出从分岔到混沌的变化过程和周期运动与混沌运动互相交织、乱而有章的复杂图景。

通向混沌的道路

对各种非线性数学模型的理论研究和对具体非线性系统的实验研究，揭示了系统随控制参数变化由规则运动通向混沌运动的多种典型途径，其中具有代表性的有：

①倍周期分岔道路。系统中相继出现2,4,8,…倍周期，最终进入混沌状态。极限点附近，这一系列分岔在参数空间和相空间都表现出尺度变换下的不变性，即自相似性。使用重正化群计算可得到这些分岔过程的一套普适常数，它们与实验事实相符。

②准周期道路。随着控制参数的变化，系统陆续出现不动点、极限环、准周期二维环面，随即而进入混沌状态。这是1975年D.吕埃勒和F.塔肯思提出的一种混沌发生机制。该发生机制可用圆映射说明，这里也发现了一些标度律和普适常数。

③阵发混沌道路。这种道路表现为周期运动和混沌运动交替出现。随着控制参数接近转变点，在规则运动中不时崩发的随机运动片段变得越发频繁，最后进入完全的混沌状态。分析表明，混沌状态发生机制可用离散映射的切分岔过程解释。

混沌研究的发展方向

混沌运动、奇异吸引子、通向混沌道路等概念的提出，开阔了理论和实验工作者的思路。从20世纪80年代开始，在等离子体放电系统、非线性电路、声学和声光耦合系统、激光器和光双稳态装置、化学振荡反应、动物心肌细胞的强迫振动、野生动物种群的数目消长、人类脑电波信号乃至社会经济活动等领域内到处发现混沌，显示出混沌运动是许多非线性系统的典型行为。作为非线性科学主要研究领域，混沌研究的主要方向集中在如下几个方面：①时空混沌；②量子混沌；③混沌运动的进一步分类；④混沌吸引子的精细刻画；⑤混沌的同步和控制等。

对混沌的研究虽已有一些严格的数学方法，但大量的研究主要依靠计算机数值实验。混沌的研究和许多学科有关。在分析力学中，运用KAM定理可判断一类近似可积的哈密顿系统（一种非线性动力学系统）中能否出现混沌运动。开放系统的混沌运动的研究与耗散结构理论有密切联系。混沌的研究与协同学也紧密相关，两者都研究系统由有序向无序和由无序向有序的转化。在系统科学中，也日益重视对混沌的研究。对混沌研究的应用前景还有待进一步揭示。混沌现象的发现还使人们对于认识确定论与随机论之间的关系得到新的启示。

混沌研究的意义

混沌研究的实际意义是多方面的。①混沌运动的发现，使人们看到普遍存在于自然界而长期视而不见的一种运动形式，从而理解过去难以理解的许多现象。如1977年后曾发现，放在微波谐振腔中的超导隧道结随着增益的提高出现反常噪声，在4K低温下进行的实验中噪声的等效温度高达5×104K以上，这是用当时已知的任何机制都无法解释的。后来明白这是系统进入了混沌区，噪声来自动力学本身。高能粒子加速器中的束流损失、磁约束核聚变装置中等离子体的泄漏、核电站循环水系统可能发生的有害回流等，都与混沌现象有联系。②混沌运动的发现提供了一种考虑问题的新角度。如长期天气预报问题、洛伦茨吸引子的发现、大气动力学方程组解对初值的敏感性，动摇了原来以为只要提高计算精度即可解决长期天气预报的想法。而混沌吸引子的遍历性质，恰好可保证许多长时间平均量的稳定性和对初始条件的无关性。因为长期天气预报所关心的是相当长时期以后雨量、温度的平均值，混沌反而增加了长期天气预报的可靠性。另外，地磁场近百万年来的多次随机转向、影响全球天气变化的厄尔尼诺现象，都可从确定性系统的混沌运动角度加以研究。③混沌运动的研究对用物理学、数学等精确科学方法研究复杂的生命现象有重要启发作用。如各种生物节律，既非完全周期，又非纯粹随机。它既有受自然界周期过程如季节、昼夜等影响的一面，又保持着其自身内秉特性。采用耦合非线性振子等数学模型模拟配合生理实验，可揭示各种心律不齐、房室传导阻碍、心室纤维颤动与混沌运动的可能联系。考察人类的脑电波，发现癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波更接近随机信号。采用维数测量发现这些信号并不真正随机，而是来至维数不很高的吸引子上的动力学行为。④混沌研究改变了人类的自然观。对于统一的自然界，历来有确定论和概率论两套对立的描述体系。牛顿力学建立以来的科学传统推崇确定论体系，而把概率论描述当作不得已而为之的补充。混沌运动对确定性系统本身就存在着内秉随机性的揭示，无疑会使人们从这种人为对立的描述系统中解脱出来，深化对必然和偶然的认识，更全面地认识自然界的统一性。

混沌现象的发现和混沌理论的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破。许多科学家认为，20世纪物理学三件辉煌的科学奇迹是相对论、量子论和混沌理论的创立。

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