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渐近线

数学术语

渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

定义
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
数学上的定义则是：若函数的图形收敛，则渐近线为。
特点
渐近线分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
需要注意的是：并不是所有曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。
分类
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
对于抛物线来说，如果当时，(或)，而且一般为间断点，就把叫做的垂直渐近线；
如果当时，，就把叫做的水平渐近线。例如，y = 3是曲线y =+ 3的水平渐近线；
如果当时，，其中a和b为常数，那么就是的一条斜渐近线。
求法
求渐近线，可以依据以下结论：
双曲线两渐近线夹角一半的余弦等于a/c且2c为两焦点的距离，2a为轨迹上的点到焦点的距离差。
若极限存在，且极限lim[f(x)－ax,x→∞]=b也存在，那么曲线y=f(x)具有渐近线y=ax+b。
例：求渐近线。
解：(1)x = - 1为其垂直渐近线。
(2)，即a = 1；
，即b = - 1；
所以y = x - 1也是其渐近线。
示例
例如，直线是双曲线的渐近线，因为双曲线上的点M到直线的距离MQ双曲线也是该直线的渐近线。
相关结论
1.与x^2/a^2-y^2/b^2=1渐近线相同的双曲线的方程，有无数条（且焦点可能在x轴或y轴上）；
2.与x^2/a^2-y^2/b^2=1渐近线相同的双曲线可设为x^2/a^2-y^2/b^2=N，进行求解；
3.x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为b/a*x=y；
4.y^2/a^2-x^2/b^2=1的渐近线方程为a/b*x=y。
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