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点差法

算法

点差法（point difference method）是解决椭圆与直线的关系中常用到的一种方法。

概念
点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
具体步骤
①设直线和圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为 ，则得到关系式
， ．.
②把 ， 分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进行因式分解．
因式分解的结果必为 ，其中A和B根据圆锥曲线的类型来决定具体数值，
一般来说会包含有 和 两项．
③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为
④对于椭圆来说
常见问题
弦的斜率与弦的中点问题；
①注意：点差法的不等价性；（考虑Δ＞0）在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系。只有Δ＞0，直线才是存在的。
②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。
在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.
若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，
轨迹方程
求直线方程或求点的轨迹方程
例1 抛物线 上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程 ，(常数 )的两个实根，求直线AB的方程.
解：设 、 ，则 ①； ②；
由①、②两式相减，整理得 ③；
同理 ④.
∵③、④分别表示经过点 、 的直线，因为两点确定一条直线.
∴ ，即为所求的直线AB的方程.
例2 过椭圆内一点作一直线，使直线被椭圆截得的线段恰好被点平分，求直线的方程.
解：设弦的两端点为、，则，，
两式相减，得，因为，，（解释：因为是线段的中点）
∴等式两边同除，有
∴，故直线的方程为，
即
求圆锥曲线方程用点差法，特别在椭圆和双曲线居多.
点差法通用公式：（适用于椭圆类题目）
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