牟合方盖

用于计算球体体积的方法

牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。

源起

《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”，“立圆”的意是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为：“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？”

开立圆术曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”

从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出约得14300尺，约为4.76千米，换言之

相关研究

《九章算术》中的结果对数学家而言是极之不满的，其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑：

“以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤多耳。”

即是说，用来计算圆面积时，则较实际面积要少；若按的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。然而可以互相通补，但按的比率来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些。因此，刘徽创造了一个独特的立体几何图形，而希望用这个图形以求出球体体积公式，称之为“牟合方盖”。

牟合方盖描述

当一正立方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”

刘徽理论

其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是“牟合方盖”，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为，他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，所以没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：

“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”

而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现，便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅，他们承袭了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。

重要发现

是到三个“外棋”的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为的正立方体组成的大正立方体，然后用制作“牟合方盖”的方法把这大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分析，分割的结果将跟概述图所示的相同，白色部分称为“小牟合方盖”，它的体积为“牟合方盖”的八分之一，而紫红、黄和青色的部分便是三个“外棋”。

祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为，三个“外?”的横切面面积的总和为及小牟合方盖的横切面边长为，因此根据“勾股定理”有

另外，因为

所以

于所有的来说，这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于的方锥，倒过来立着，与三个“外棋”的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为，不难发现对于任何的，方锥截面面积也必为。换句话说，虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云：

“缘幂势既同，则积不容异。”

所以

即

因此

这条公式也就是正式的球体体积公式。

相关备注

虽然本球体体积公式的出现比欧洲阿基米德的公式晚些，但由于方法以至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出，是一项杰出的成就。当中使用的“幂势既同，则积不容异。”，即“等高处截面面积相等，则二立体的体积相等。”的原理。一般认为是由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）首先引用，称为卡瓦列利原理（Principle of Cavalieri），但事实上祖氏父子比他早一千年就发现并使用了这个原理，故又称“祖暅原理”。

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