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相合性

数学术语

相合性(consistence)是一个估计量所应具备的最基本的性质。相合估计亦称为一致估计、相容估计，估计量的一种大样本性质为：当样本容量n充分大时，估计量可以以任意的精确程度逼近被估计参数的真值。按收敛意义不同，可以区分不同的相合性，常见的有：弱相合估计、强相合估计、r阶相合估计，这三种相合性之间的关系与三种收敛性的关系是完全一致的。

基本介绍
无偏性和有效性都是在样本容量n固定的前提下提出的，当希望随着样本容量的增大，一个估计量的值能够稳定在待估参数真值的附近，这就是估计量的相合性的要求。
设为的基于样本的的一个估计量，显然它依赖于样本n，为表明这种依赖性，可以记之为。随着样本量的变化，可得到一列估计量，一个自然的希望是，当样本容量无限增加时，估计量能够依某种意义接近于被估计量的真值。显然，这是对估计量的起码要求。相合性就是这样的一个要求。
弱相合估计
简称“相合估计”。称为的弱相合估计，如果依概率收敛于，即当n充分大时，有。
强相合估计
称为的强相合估计，如果以概率1收敛于，即当n充分大时，有。
r阶相合估计
称为的r阶相合估计，如果r阶收敛于，即当n充分大时，有。特别，当r=2时，称为的均方相合估计。
上述三种相合性之间的关系与三种收敛性的关系是完全一致的。上面的定义中，收敛性指对于任意固定的收敛。假设相应的收敛关于是一致的，则相应的相合性称做“一致相合性”。
相关定理
定义
定义1 设为的基于样本的的一个估计量，若对任意固定的，都满足：对于任给的，有
成立，则称为的相合估计，上述极限式简记为。
定义2若对任何固定的都有
则称为的强相合估计量，上述式子可简记为，这里a.s.为almost surely的缩写。
式(1)表明随机变量序列依概率收敛于，而式(2)即几乎处处收敛于。由以上定义以及几乎处处收敛和依概率收敛之间的关系知，强相合估计必为相合估计。
定理1
设在参数空间上连续，为的强相合估计量，i=1,2,...,k，则为的强相合估计量。
定理2
设总体有直到k(k≥2)阶的矩。可表示为，且G为连续函数。记分别为样本原点矩和样本中心矩，则为的强相合估计量。
注意：由该定理可知，矩估计量一般是强相合的。
定理3
设分布族满足：
（1）X是有限集；
（2）对于不同的参数值θ和θ’，所对应的分布不同；
（3）有共同支撑，即与θ无关；
则对于简单随机样本，θ的最大似然估计量存在，且为θ的相合估计量。
定理4
设分布族满足：
（1）θ为R（一维实空间）中的开集；
（2）不同的参数值θ和θ’，所对应的分布不同；
（3）有共同支撑A；
（4）对θ的偏导数在X上存在，并且当简单随机样本时，似然方程有且仅有解，则，即为θ的相合估计量。
例题解析
例1
设，则是θ的有偏估计，但它是相合的。
证明：
的密度函数为，此处为A的示性函数。故对任意ε>0，有
可见为θ的相合估计。
例2
设，证明θ的极大似然估计是相合的。
证明：似然函数为
故有
可见为θ的严格单调下降函数。又因为
从而有且仅有一个解。故似然方程的根必为极大似然估计量且是相合估计。
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