特征值

线性代数中的概念

特征值，是线性代数中的一个重要概念，对于一个n阶方阵A而言，如果存在实数m和非零n维列向量x，使得 Ax=mx 成立，则称m是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。

简介

特征值是指对于阶方阵，如果存在实数和非零维列向量，使得成立，则称是的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零维列向量称为矩阵的属于特征值（或称对应于特征值）的特征向量或本征向量，简称的特征向量或的本征向量。

定义

基本定义

设为阶矩阵，若存在常数及 n维非零向量，使得，则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量。

的所有特征值的全体，叫做的谱，记为.

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：

其中和为矩阵。其广义特征值（第二种意义）可以通过求解方程，得到（其中即行列式）构成形如的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。

若可逆，则原关系式可以写作，也即标准的特征值问题。当为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果和是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为矩阵未必是对称的。

计算方法

求阶矩阵的特征值的基本方法：

根据定义可改写为关系式，其中为单位矩阵。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。解此行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特征向量。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为全部特征值；

第三步：对于每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则属于特征值的全部特征向量是不全为零的任意实数。

[注]：特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

基本应用

求特征向量

设为n阶矩阵，根据关系式，可写出，继而写出特征多项式，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值代入原特征多项式，求解方程，所求解向量就是对应的特征值的特征向量。

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵和，若和相似，则有：

1、的特征值与的特征值相同——，特别地，，为的对角矩阵；

2、的特征多项式与的特征多项式相同——；

3、的迹等于的迹——（或），即主对角线上元素的和；

4、的行列式值等于的行列式值——；

5、的秩等于的秩——。

因而A与B的特征值是否相同是判断与是否相似的根本依据。

判断矩阵可对角化的充要条件

矩阵可对角化有两个充要条件：1、矩阵有个不同的特征向量；2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。

若矩阵可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵使）

更多应用

量子力学：

设是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过变换后所得到的向量和仅差一个常数因子，即，则称为的特征值，称为的属于特征值的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。

设是阶方阵，是单位矩阵，如果存在一个数使得是奇异矩阵（即不可逆矩阵，亦即行列式为零），那么称为的特征值。

在变换的作用下，向量仅仅在尺度上变为原来的倍。称是的一个特征向量，是对应的特征值（本征值），是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。

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