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示性函数

数学术语

示性函数有多种含义，它可以指事件的示性函数，即事件发生与否与0,1两值函数的对应关系。也可以指随机过程的示性函数，即随机过程的均值函数、方差函数、相关函数等。还可以指集合的示性函数，即集合的特征函数。其中事件的示性函数也可以归于集合的示性函数，二者都是与0,1二值函数相关的。

事件示性函数
依事件出现与否应取1和0的函数。设A是—事件，则
称做“事件A的示性函数”。事件示性函数是一随机变量，服从0-1分布。必然事件的示性函数恒为1，不可能事件的示性函数恒为0。
事件的关系和运算与示性函数的关系和运算一一对应。如
若，则；若，则。此外，
借助示性函数，可以将事件的研究纳入随机变量的研究。
集合的示性函数
集合的特征函数(characteristic function of a set)亦称集合的示性函数，与集合一一对应并反映其组成、运算和可测性等特性的简单函数。可看做集合的函数表示法，该集合的元素由相应特征函数取值1的点所确定。设X是全集，对任意集合，把函数
称为集合A的特征函数或示性函数。特征函数与相应集合之间有如下关系：
1.；
2.。
3.。
4.对一列集，有
5. 为(L)可测函数A为(L)可测集。
随机过程的示性函数
为了描述一个随机过程，必须知道它的有限维分布函数族。然而在计算较高维数的分布函数时，往往在计算上带来很大的困难。因此，在实际应用中，通常是利用随机过程的几个主要特征来描述。我们知道，在概率论中为了描述随机变量，通常是用均值、方差和相关系数等示性数来描述。对于随机过程，均值、方差及相关系数只不过是时间的函数而已。因此，我们通常称之为均值函数、方差函数及相关函数，有时把这些函数叫做随机过程的示性函数。
均值函数
定义1设为随机过程，如果积分
存在，则称为该随机过程的均值函数，有时简记为。其中和分别为该随机过程的一维分布函数和一维密度函数。
方差与标准偏差函数
定义2 设为随机过程，如果积分
存在，称为该随机过程的方差函数，有时简记为。特别地，称
为随机过程的标准偏差函数。
相关函数
定义3设为随机过程，如果积分
存在，则称为该随机过程的原点自相关函数。特别地，称为二阶原点矩函数。完全类似，称
为随机过程和的原点互相关函数。
称积分
为随机过称的中心自相关函数，完全类似，称
为随机过程和的中心互相关函数。
由(2)式及(3)式，可知
比较(1)式和(3)式，还有
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