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离散型随机变量

数学名词

随机变量

概率分布
定义1
如果随机变量X只可能取有限个或至多可列个值，则称X为离散型随机变量。
定义2
设X为离散型随机变量，它的一切可能取值为X1，X2，……，Xn，……，记
P=P{X=xn},n=1,2...
称上式为X的概率函数，又称为X的概率分布，简称分布。
性质
内容
离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
(1)Pn≥0 n=1,2,…
(2)∑pn=1
释义
对于集合{xn,n=1,2,……}中的任何一个子集A,事件“X在A中取值”即“X∈A”的概率为
P{X∈A}=∑Pn
特别的，如果一个试验所包含的事件只有两个，其概率分布为
P{X=x1}=p(0≤p≤1)
P{X=x2}=1-p=q
这种分布称为两项分布。 如果x1=1,x2=0,有
P{X=1}=p
P{X=0}=q
这时称X服从参数为p的0-1分布，它是离散型随机变量分布中最简单的一种。由于是数学家伯努利最先研究发现的，为了纪念他，我们也把服从这种分布的试验叫伯努利试验。习惯上，把伯努利的一种结果称为“成功”，另一种称为“失败”。
随机变量
1、0-1分布（伯努利实验-二项分布）
分布列如下：
2、超几何分布
分布列如下：
3、泊松分布
分布列如下：
应用范围
自变量的变换、卷积和、傅里叶级数、傅里叶变换、Z变换
连续型随机变量
数学定义
对于随机变量X，若存在一个非负的可积函数f(x)，使得对任意实数x，有
则称X为连续性随机变量。其中f(x)为X的概率分布密度函数，简称概率密度记为X～f(x)。
相关性质
由定义可知，
3.对于任意两个实数x1，x2（假设x1≤x2），都有：
X取任一指定实数值a的概率，
,这样在计算连续性随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间还是闭区间。有
尽管P{X=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。同样，一个事件的概率为1，并不意味这个事件一定是必然事件。当提到一个随机变量X的概率分布，指的是它的分布函数，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型时指的是它的分布律。
主要区别
当随机变量的可取值全体为一离散集时称其为离散型随机变量，否则称其为非离散型随机变量，这是很大的一个类，其中有一类是极其常见的，随机变量的取值为一(n)维连续空间，称其为连续型随机变量。
概念辨析
能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定，变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。
实例
比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，
k是随机变量，
k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20……
因而k是离散型随机变量。
再比如，掷一个骰子，令X为掷出的结果，则只会有1,2,3,4,5,6这六种结果，而掷出3.3333是不可能的。
因而X也是离散型随机变量。
如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。
比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，
x的取值范围是[0,15]，它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3分钟、5分钟7毫秒、7√2分钟，在这十五分钟的时间轴上任取一点，都可能是等车的时间，因而称这随机变量是连续型随机变量。
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