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秦王暗点兵

中国古代数学问题

秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。 物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为：“今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？”这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？ 变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。

典故
秦王是指李世民，李渊称帝后分封他为秦王。所谓暗点兵，便是无论多少兵马，只须按阵排列，大将默察阵势，瞬息间便知数目。
解法
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。
举一反三
问题
我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
解法1
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
解法2
我们设至少有n个人
依题意得 n用3除余2，用5除余3，用7除余4
则 2n用3除余1，用5除余1，用7除余1（2*2除以3余1,3*2除以5余1,4*2除以7余1）
所以我们求3、5、7的最小公倍数-----105
又因为2n会余1 所以2n=105+1=106
所以n=106/2=53
（是不是比解法1简单多了）
解法3
古人智慧
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1；
21是3与7的倍数，而用5除余1；
15是3与5的倍数，而用7除余1。
因而，
70×2是5与7的倍数，用3除余2；
21×3是3与7的倍数，用5除余3；
15×4是3与5的倍数，用7除余4。
若一个数除以a余b，这个数加上a的倍数再除以a余数仍然为b。
上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。
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