积分不等式

数学术语

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，也为解决微分方程等方面的问题提供了富有成效的理论工具。主要有杨不等式，施瓦兹不等式，闵可夫斯基不等式，延森不等式等。

杨不等式

有关函数及其反函数积分的不等式。设f在上连续，且严格增，，则对任意的a≥0及

有

其中是的反函数，等号当且仅当时成立.这个不等式是杨（Young，W.H.）于1912年建立的.它有明显的几何意义：如图1，图形OAC与OEB的面积之和不小于矩形OADB的面积。反之，若f，g在上连续，且严格增，，，且对任意a，b>0，有

则。

从杨不等式可以得到一些有用的不等式，如（也有人称为杨不等式），其中1/p+1/q=1，p>1，q>1，a，b≥0，等号当且仅当时成立。若f： → ，右连续且增，，则f(x)称为杨函数。若对杨函数f(x)，定义其右反函数为：y∈[0，f(0)]时，；而时，。则对a，b≥0，有

等号当且仅当或时成立。

杨不等式可以推广(1989)为

其中f在上连续，严格增，φ，ψ分别在与上可微，且同增或同减，等式当且仅当，或φ在a与之间为常值，或ψ在f(a)与b之间为常值时成立。当φ，ψ之一增，另一减时不等号反向。一般地，对(0，+∞)上的任意实函数f，g及x>0，y>0，xy≤f(x)+g(y)称为杨型不等式。杨型不等式成立的一个充分必要条件(1984)是：存在(0，+∞)上的非负函数p，q，常数c及杨函数φ，使

及

上述不等式中的等号成立，当且仅当p(x)=q(y)=0，且φ(x)=y或时。

施瓦兹不等式

赫尔德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情况，此时的赫尔德不等式称为施瓦兹不等式，有时也称为柯西不等式或布尼亚科夫斯基不等式。

见施瓦兹不等式。

闵可夫斯基不等式

（1）对所有的正实数有

更一般地，对时有

当且仅当时等号成立。这个不等式叫闵可夫斯基不等式。

（2）设E为中的勒贝格可测集，f(x)，g(x)为E上p次实值可积函数，则f(x)+g(x)是E上p次可积函数，并且：

上述不等式称为闵可夫斯基不等式。当p>1时，闵可夫斯基不等式中等号成立当且仅当存在两个不全为零的常数，，使得：

（3）序列形式的闵可夫斯基不等式。

设为两个实数列，满足条件

则

上面不等式中等号成立当且仅当存在两个不全为零的常数，，使得

延森不等式

有关凸函数的一个不等式。它的离散形式是

式中f是I上的凸函数，，，，等号当且仅当或f是线性函数时成立；

延森不等式的积分形式是

式中I是区间，f在包含x(I)的区间上是凸函数，函数x在I上可积，q(t)≥0，且

等号当且仅当x是常值函数或f是线性函数时成立。上述不等式等价于

式中不全为0，非负，f同上；

式中p(t)>0，其他条件同上。

以上不等式中，I可以换成凸集(这时积分应为勒贝格积分)。当f是凹函数时不等号反向。适当地选择f，或函数q，可以得到许多著名的不等式。例如，取f(x)=-ln x(x>0)及，可以得到平均不等式与赫尔德不等式。离散形式的延森不等式是赫尔德(Ho¨lder，O.L.)于1889年得到的，积分形式是延森(Jensen，J.L.W.V.)于1906年建立的。

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