积分几何

积分几何数学中通过各种积分研究图形性质的一门学科，本质上属于整体微分几何范畴。它起源于几何概率的研究，其发展也始终与几何概率相联系。积分几何的研究从二维欧几里得平面、三维欧几里得空间开始，逐步拓广到高维欧几里得空间和非欧几里得空间，然后概括为满足一定条件的齐性空间。

简介

积分几何学是通过积分研究图形性质的一门学科。本质上属于整体微分几何的范畴。它起源于几何概率的研究，其发展也始终与几何概率相联系。积分几何的研究从二维欧几里得平面、三维欧几里得空间开始，逐步拓广到高维欧几里得空间和非欧几里得空间，然后概括为满足一定条件的齐性空间。积分几何的基本概念就是对于某种几何元素集定义一种在某种变换群作用下不变的密度和测度。该不变密度的不同表达式往往是导出重要结论的基础。

基本信息

以二维欧几里得平面为例，设(x,y) 是平面上点P 的直角坐标，则在运动群作用下不变的点密度是。设表示上的直线，它的方程是，其中是坐标原点到直线的距离，是从原点 O 到直线的垂线与横坐标轴所成的有向角则直线的密度是。若它与平面上长度为 L 的曲线 C 的交点数为则有著名的克罗夫顿公式(Crofton formula)

在 E2上，设图形 F 在作刚体运动，在 F 上固联一个正交标架R。假设对于平面上一个固定的正交标架R0而言，R的原点坐标为(x,y),且R 的第一条轴与R0的第一条轴间的夹角为 θ,则定义F 的不变运动密度为设E2上有长度为Li 的曲线Ci= 1,2。让曲线C1固定，曲线C2作刚体运动，其运动密度记为dC2,并设 C2在任意位置与 C1的交点数均有限，记为 n，则得庞加莱公式(Poincareformula)

再设Ci是分段光滑的简单闭曲线，其全曲率为ci(即Ci的各段光滑曲线的相对曲率关于弧长参数的积分之和，再加上各角点处的外角)，所围的区域记为Di其面积为Si，用表示相交区域的边界的全曲率。让曲线C1固定，曲线 C2作刚体运动，把c12对所有可能的 C2的位置进行积分，则有布拉施克运动公式(Blaschke's kinematic formula)

设χ 为交集的连通分支数，则上面的公式成为

所有上面的结果都可以推广到高维空间。

发展

简史几何概率的研究要以有关的图形集合的测度为基础，因而自然要导致积分几何的建立。一般认为,最早的几何概率问题是 G.-L.L.de布丰提出并解决的投针问题：设在平面上有一组平行线,其行距都等于D；把一根长度l

到19世纪下半叶，克罗夫顿已获得了一系列的积分公式；它们至今仍然是积分几何中很基本的公式，其特点是概括性高而推导简洁。但就在此时，J.L.F.贝特朗却发现，对于同一个几何概率问题，对有关测度的不同要求会导致互相矛盾的解答。

后来H.庞加莱指出，只须要求所采用的测度在一定变换群下不变，那样的矛盾就不会出现。从此，几何概率同变换群相结合，形成了积分几何的理论基础，成果日渐丰富。

1935年起，布拉施克及其合作者在“积分几何”这个总标题下发表了一系列论文，积分几何就开始作为几何的一个分支获得了系统而深入的发展。其中，陈省身作出了卓越的贡献，齐性空间积分几何的理论就是他和A.韦伊建立起来的。在齐性空间里，他引进了一种较一般的关联概念，并在此基础上获得了克罗夫顿公式的一种推广，他还推得了En里紧致流形的一般运动公式，作为运动主要公式的补充。

桑塔洛是布拉施克最早的合作者之一，他毕生致力于积分几何的研究，时间最长，成果广泛而丰富，所著《积分几何与几何概率》一书是迄今为止这方面最完备的专著。

中国较早从事积分几何研究的还有吴大任，他第一次把欧氏空间积分几何的基本成果（包括运动主要公式在内），推广到三维椭圆空间。他还证明了关于E2和E3里凸体弦幂积分的一系列不等式。中国学者还获得了其他若干成果。例如，任德麟推得了n维欧氏空间和非欧空间里含在一个凸体内的定长线段测度公式，把关于弦幂积分的不等式推广到En，并且推广了布丰投针问题。

应用

由于积分几何是和概率以及统计紧密联系着的，它在许多学科（如生物学、医学、矿物学、金属学，以至物理、天文、建筑、声学等）中都有应用。随着电子计算机性能的迅速提高，使用的日益广泛，这种应用正方兴未艾。已经出现了“随机几何学”和“数理生态学”这样的学科名称。这方面，所采用的方法之一是所谓的立体度测法：简单地说，有些几何对象的立体性质只能通过对它们的直线截痕或平面截痕的大量观测来推算，积分几何就在这里提供了理想的工具。

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