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空间向量

数学名词

空间向量（space vector）是一个数学名词，是指空间中具有大小和方向的量。

向量规定
向量的大小叫做向量的长度或模(modulus)。
1.长度为0的向量叫做零向量，记为0。
2.模为1的向量称为单位向量。
3.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a。
4.方向相等且模相等的向量称为相等向量。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a//b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
2、共面向量定理
如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
卦限
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
问题
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
常识
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．
4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 a,b，求： 的问题．
6、利用向量求距离即求向量的模问题．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．
计算
第一步：
按照图形建立三维坐标系O-xyz之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。
第二步：
求平面的法向量：
令法向量n=（x,y,z）
因为法向量垂直于此平面
所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b）
可列出两个方程 n·a=0,n·b=0
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）
代入即可求出面的一个法向量n的坐标了。
会求法向量后
1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2。
2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取（除被求点在该平面的射影外）一点，
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求。
3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos=|n·m|/(|n||m|)
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。
4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则
线线平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb
线面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0
面面平行 α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν
线线垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0
线面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ
面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν<=>μ·ν=0
5.空间向量的坐标运算：设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则
1.|a|=
2.a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
3.a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
4.ka=k(x1,y1,z1)=(kx1,ky1,kz1)
5.a·b=x1x2+y1y2+z1z2
6.a∥b<=> a=kb(b≠0,)
7.a⊥b<=> a·b=0<=>x1x2+y1y2+z1z2=0
8.cos=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2+z1z2) / [ ]
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