空间多边形

空间图形

空间多边形(Spacial polyhedron)亦称捩多边形，是一种空间图形，常指各边不共面的多边形。不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线；若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线；若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做空间多边形。

基本介绍

不在同一个平面内的若干线段(至少有四条)，首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，这样组成的图形叫做“空间多边形”。例如图１，空间四边形就是最简单的空间多边形。

【例1】试证内接于空间四边形的任何平面四边形的对边如果相交，那么交点必定在空间四边形的对角线上。

已知：如图2，空间四边形ABCD，又平面四边形PQRS的顶点P、Q、R、S分别在线段AB、AD、CD、CB上，且PQ∩SR=K。

求证：K∈BD。

证明 ∵ P∈AB，Q∈AD，K∈PQ，

∴PQ⊂平面ABD，∴ K∈平面ABD，

同理K∈平面BCD，∴K∈BD。

说明：怎样证明点在直线上?本题告诉我们，如果要证明点在两个平面的交线上，那么只需要证明这个点既在第一个平面上又在第二个平面上即可。

相关结论及证明

空间四边形

1.证明:空间四边形各边的中点是平行四边形的顶点。

提示设A1,B1,C1和D1是边AB.BC,CD和DA的中点，则A1B1 // AC和C1D1// AC,所以A1B1//C1D1(特别地,点A1,B1,C1和D1在一个平面上),类似地B1C1// A1D1。

2.证明:问题1中的平行四边形的中心与连接四边形对角线中点的线段的中点重合。

提示设A1,B1,C1和D1是边AB,BC,CD和DA的中点。再设P和Q是对角线AC和BD的中点，则线段A1Q和PC1平行于线段AD,同时这两个线段每一个的长等于线段AD长的一半，因此A1PC1Q是平行四边形，所以线段A1C1的中点与线段PQ的中点重合。

3. 证明:空间四边形ABCD的对边两两相等，当且仅当它们的对角两两相等。

提示如果AB=CD和BC=AD，那么三角形ABC和CDA全等，所以∠ABC=∠CDA，类似有∠BAD=∠DCB.。

现在假设∠ABC=∠CDA和∠BAD=∠DCB，我们考察四面体abed，它的界面垂直于四面体ABCD的边，也就是AB⊥bed,BC⊥cda,CD⊥dab和DA⊥abc，根据条件平面bcd和cda之间的角等于平面dab和abc之间的角，即,棱ad上的二面角等于棱ab上的二面角。此外，棱bc上的二面角等于棱ad上的二面角，由两对二面角的等式推得三面角abcd和cdba的相等(这两个三面角在棱ac上的二面角是公用的)，由三面角的等式推得它们对应的面角相等，特别地，∠bac=∠dca 和∠acb=∠cad，所以 △abc≌△cda，类似地，△dab ≌△bcd。

广梅涅劳斯定理

4. 一个平面交空间多边形（或它们的延长线）于点；点在直线上，证明

并且在多边形的边上（而不在它的延长线上）有偶数个点。

提示我们考察在垂直于已知平面的直线上的射影。所有的点此时的射影在一个点B，而点的射影在点因为在射影变换下保持在一条直线上的线段的比例，那么

已知平面分空间为两部分，由顶点走到，我们由空间的一个部分变到另一个部分，仅当点在边上。因为，完成多边形的回路我们返回到空间的起始的部分，那么位于多边形边上的点的数目是个偶数。

5. 在空间四边形ABCD的边AB,BC,CA和AD上分别取点K,L,M和N，证明:这些点在一个平面上，当且仅当

提示我们考察点N',它是平面KLM与直线DA的交点。根据问题4有

根据同一个问题点N'在线段AD上，因为点K,L和M在四边形的边上，而不在它们的延长线上。

点K,L,M和N在一个平面上当且仅当N=N'。所以在线段AD上的两个点N和N'，有N=N'当且仅当DN':AN'=DN:AN。

其他问题

6.已知顶点为的空间闭折线，并且每个线节与规定的球交于两个点，而折线的所有顶点在球外，这些点分折线为3n个线段。已知，毗邻顶点A1的线段彼此相等，同样的条件对于顶点也是对的，证明:对毗邻顶点An的线段彼此也相等。

提示毗邻顶点Ai的线段相等，其中i=1，2，...，n-1，根据由一点引的割线段乘积的定理，位于球内部的这些线节上的线段也彼此相等。因此，位于球内部的所有线段彼此相等，因为对相邻的顶点这些线段中的一个是共同的。所以它们等于对顶点An的线节，但此时根据同一个定理对毗邻顶点An这些线节的线段也彼此相等。

7.已知四条直线，它们中的任三条不平行于一个平面，证明:存在空间四边形，它的边平行于这些直线，同时平行于对应直线的边的比，对所有这样的四边形是相同的。

提示设a,b,c和d是平行于已知直线的向量，因为在空间的不在一个

平面上的任意三个向量形成基底，那么存在这样的非零数a,β和γ，使得αa+βb+γc+d=0。向量αa、βb、γc、d是所求四边形的边。设α1a、β1b、γ1c、d是另一个这样的四边形的边的向量，则αa+βb+γc+d=0=α1a+β1b+γ1c+d，即(α1-α)a+(β1-β)b+(γ1-γ)c=0，因为向量a, b和c不在一个平面上，所以α=α1，β=β1和γ=γ1。

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