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空间距离

三维空间中点、线、面之间的距离

空间距离是指立体几何中三维空间中点、线、面之间的距离。将已知、所求各量集中于同一平面是最基本的想法。

例1
已知异面直线l1,l2，l1⊥l2，MN为l1,l2的公垂线段M∈l1，N∈l2，A∈l1异于M，B∈l2异于N，P为MN上异于M，N的任一点。（1）判断ΔABP的形状（锐角还是钝角或Rt△）；（2）设AB中点为C，MN中点为D，AB=a, MN=b。求线段CD的长。
解析（1）：判断ΔABP形状？不知角→只能通过边→余弦、勾股定理→比较三边平方关系，
依题设，AP2=AM2+MP2，BP2=BN2+NP2→AB2=？
过N作NQ//l1,则A，Q，M，N共面，过A作AQ//MN交NQ于Q，
∵ MN为公垂线，∴ MN⊥平面QBN，∴ AQ⊥平面QBN，
∴ ΔAQB为RtΔ，∴ AB2=AQ2+BQ2=MN2+BQ2
∵ l1⊥l2，∴ QN⊥BN，∴ QB2=QN2+BN2=AM2+BN2,
∴ AB2=AM2+BN2+MN2,
∵ MN=MP+NP，∴ MN2＞MP2+NP2，
∴ AB2＞AM2+MP2+BN2+NP2=AP2+BP2，
由余弦定理可知，cos∠APB＜0，∴ ΔABP为钝角三角形。
解析(2)：已知AB，MN，CD三条线段不共面，要想求出CD，必须先将三者的数量关系转化集中到同一平面内。
同（1）过N作NQ//l1, A,M,N,Q共面，
过A作AQ//MN交NQ于Q，证得ΔAQB为RtΔ，
AQ=MN，则BQ=，作BQ中点E，连结CE，EN，
又∵ C为AB中点，∴ CEAQ，
∵ D为MN中点，∴ CEDN，
∴ 四边形CEND为平行四边形， ∴ CD=EN，
又∵ RtΔBNQ，∴ EN=BQ==CD。
评注：10在空间距离的计算上，将已知、所求各量集中于同一平面是最基本的想法。
20 在数量的传递和比较上，平移，借助平行四边形性质是最常用的方法，解三角形知识是通用的工具，在距离计算上要能熟知解三角形知识。
例2
已知：正方形ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求直线BC1到截面ACD1的距离。
分析：因正方形，故BC1//AD1，∴ BC1//平面ACD1，由线面距离的概念，BC1到面ACD1的距离即BC1上任一点到平面ACD1垂线段的长，亦等于过BC1且与平面ACD1平行的平面与平面ACD1的距离。
解:
法一：过BC1上一点作垂线段
连结B1D，B1C，设B1C交BC1于E，取DC中点F，连结EF，BF，设BF交AC于H，过H作HG//EF交BE于G，
∵ 正方形ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
∴ B1D⊥平面ACD1，B1D=，E为CB1中点，
∴ EFBD，∴ EF⊥平面ACD1，
∴ GH⊥平面ACD1，∴ GH的长即BC1到平面ACD1距离，
∵ DC//AB，F为DC中点，
∴ FH∶BH=1∶2，∴ BH∶BF=2∶3，
∴ HG=EF=，即BC1到平面ACD1的距离为。
评注：若按定义，通过BC1上任一点向平面ACD1作垂线，垂足落在何处？能否利用上已知条件，故通常为便于计算都不能如此作，而是从另一些方面利用图形性质或构造垂面截出垂线段。此处利用正方体体对角线垂直于不相交的面对角线这一特性及同一面的垂线互相平行的性质作出垂线段GH，也相当于过BC1作了与平面ACD1垂直的平面BC1F，也可在垂面上利用面面垂直的性质去找垂线段。
引申设问：此题若改求异面直线AC和BC1的距离呢？你能否根据以上解法予以解答？
例3
已知正方形ABCD边长为4，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F分别为AB，AD中点。求：点B到平面PEF的距离。
解:
法一：等积转化法
设B点到平面PEF的距离为h，连结BF，则¡SΔPEF¡h=V三棱锥B-PEF，
连结CE，CF，在RtΔCBE中，BC=4，BE=2，
∴ CE2=20，又在RtΔPCE中，PC=2，
∴ PE=2，同理可求得PF=2，又可求得EF=2，
∴ 可求得SΔPEF=2，
又：V三棱锥B-PEF=V三棱锥P-BEF，已知PC⊥平面BEF，
∴ ¡2¡h=¡SΔBEF¡PC，
∴ h=。
法二：转化为线面——其它点面距离
连结BD， ∵ E、F分别为AB，AD中点，
∴ EF//BD，
∴ B点到平面PEF的距离即直线BD到平面PEF的距离，即直线BD上任一点到平面PEF距离，
连结AC交EF于G，交BD于O，连结PG，
∵ BD⊥AC，∴ EF⊥AC，又 PC⊥EF，
∴ EF⊥平面PGC，∴ 平面PEF⊥平面PCG，
过O点作OK⊥PG于K，则OK⊥平面PEF，
即线段OK的长即为点O到平面PEF的距离，
由ΔOKG∽ΔPCG，在ΔPCG中可求得PG=，PC=2，
在ΔOGK中，OG=AC=，∴ OK=¡OG=。
法三：用概念直接作
延长FE交CB延长线于H，连结PH，过B作BM//PC交PH于M，过B作BN⊥EH于N，连结MN，过B作BQ⊥MN于Q点，
∵ PC⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ABCD，
∴ MB⊥EH，∴EH⊥平面BNM，
∴ 平面BMN⊥平面PEH，
∴ BQ⊥平面PEH，即线段BQ的长即为点B到平面PEF的距离，
∵ E为AB中点，即正方形ABCD，∴ BH=BE=2， EH=2，
∴ BN=，由，∴ BM=，
在RtΔBMN中，BQ=。
评注：此题仍用了例2所用的三种思维方法。这都是求距离所用的常用方法。比较概括一下，等积法最容易，转化法是最常用的思路，直接法往往较难，寻求垂线段时往往需借助图形隐含的性质和作辅助的垂面来实现，每种方法都能从不同侧面帮助我们提高空间思维能力，在复习时都应运用领会。
法四：转化为面面距离来作
连结A1B，A1C1， ∵ 正方体A-C1，
∴ 平面ACD1//平面A1C1B，
∴ BC1到平面ACD1的距离即平面ACD1到平面A1C1B的距离。
连结B1D，设B1D交平面A1C1B于O1，交平面ACD1于O2，
∵ 正方体AC1，∴ B1D⊥平面A1C1B， B1D⊥平面ACD1，
∴ 线段O1O2的长即为平面ACD1与平面A1C1B的距离，作A1C1中点M，连结BM，
∵ B1MD1DB共面，∴ B，O1，M共线（公理2）
在RtΔBB1M中，B1O1=，
同法可求得DO2=，
∴ O1O2=B1D-DO2-B1O1=。
评注：10计算过程中必要的证明必不可少，如此处B，O1，M共线的证明。
20 当确认要计算的线段后，转化和寻求三角形应同时进行，如此处O1O2较难直接计算，转化为O1O2=B1D-B1O1-DO2，B1O1置于RtΔBB1M中。
法五：利用等积计算布列方程
设点B到平面ACD1的距离为h，则¡h,
∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
∴ DD1⊥平面ABC，ΔAD1C为正三角形，边长为。
又∵ =¡SΔABC¡DD1=，
∴ ¡h=¡1，∴ h=。
评注：解决点面距离的通法——等积法，用此法要注意灵活选择三棱锥，变换视角，以及规范表述。
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