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等分圆周

利用直尺和圆规将圆周n等分的数学问题

等分圆周是指利用直尺和圆规将圆周n等分，这是一个古老的数学问题。古代希腊数学家利用尺规作图可将圆周分成3，4，5，15等分，并进而将分点逐次倍增，将圆周无限等分。高斯(Gauss，1777-1855)曾证明可用尺规作图将圆周17等分，因而找到了正十七边形的尺规作图法。为此，后人把这一图形铭刻在高斯纪念碑上。

简介
等分圆周(circumference in equal parts)是圆内接正多边形的作图问题。若圆周上依次有n个点A1，A2，A3，…，An(n≥2)，把整个圆周分成n段相等的弧：
则称点A1，A2，…，An把圆周n等分，简称n等分圆周。除二等分圆周外，用圆规直尺等分圆周与内接正多边形的作图实质是相同的问题。高斯(C.F.Gauss)对等分圆周曾做出巨大贡献。1796年，年仅19岁的高斯根据式子
发现，圆内接正十七边形可用圆规直尺作图。1801年，高斯又研究确定用圆规直尺等分圆周，等分数所应满足的充分必要条件(参见下文“用圆规直尺等分圆周问题”)，高斯临终遗言“在墓碑上刻正十七边形”，德国格丁根大学为他建立了一座以正十七棱柱为底座的纪念像。
等分圆周问题
用圆规直尺等分圆周问题是几何学历史中的一个著名问题，能仅用圆规直尺把圆周n等分，当且仅当n是如下形式的整数：
1.n=2m(m为大于1的正整数)。
2.n=2m·p1·p2·…·pk，其中m=0，1，2，…，k=1，2，…，pi为
型的不同素数，这是1801年高斯(C.F.Gauss)证明的，因此，在100以内可以用圆规直尺等分圆周的等分数只有24个：1型的五个为4，8，16，32，64；2型的十九个为3，6，12，24，48，96，5，10，20，40，80，15，30，60，17，34，68，51，85。在什么条件下可以用圆规直尺等分圆周问题，自19世纪初叶被高斯解决以后，仍有许多数学家为此问题着迷。比较有趣的是
是素数时的情形，当t=0，1，2时，n=3，5，17的作图法已经解决。当t=3，4时，n=257，65537，这两个数都是素数，正257边形的作图，于1832年为里歇洛(F.J.Richelot)所完成；赫姆斯(P.Hermes)费了十年的时间才完成正65537边形的作图。关于费马数
是否素数的探讨参见“费马数”。
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