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等周不等式

数学术语

等周不等式又称等周定理,说明在周界长度相等的封闭几何形状之中,以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中,以圆形的周界长度最小。赫尔维茨提出可以将封闭曲线的周界长和曲线所包围的区域面积之间的关系用不等式表达出来,这个不等式被称为等周不等式。

简介
等周不等式,是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何空间中,以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中,以圆形的周界长度最小。
虽然等周定理的结论早已为人所知,但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后,数学家们陆续给出了不同的证明,其中有不少是非常简单的。等周不等式有许多不同的推广,例如在各种曲面而不是平面上的等周问题,以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。
在物理中,等周不等式问题和跟所谓的最小作用量原理有关。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里）,水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时,表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周不等式,最小值是在水珠形状为球状时达到。
定义
若为封闭曲线 的周界长,为曲线 所包围的区域面积,则有 ,式中等号当且仅当 是圆时成立。
这个等周不等式不仅说明了等周长 的所有平面简单闭曲线中, 圆周围成的面积最大（等面积的多有单连通区域中,圆的边界最短） ,而且说明了周长与面积之间的关系,即周长的平面简单封闭曲线所围的面积不超过 。
证明
以下给出一个较初等的证明,分5步。
设一条长度为P的封闭曲线围成的区域的最大面积为 ,亦以、来标记该区域及其边界；那么该图形应当满足如下性质：
1、是一个凸区域。
假使不然,是一个凹区域。那么根据定义,可以在内找到两个点M和N,使其连线MN有一部分M'N'不包含于A的内部。然而如以M'N'替换掉原来的那段弧,则周长将减少,面积将增加,从而将新图形扩大若干倍后得到一个同样周长,面积比大的区域。矛盾。
2、凡平分周长的弦必平分面积A。
如果一弦MN平分而将分为大小不同的两部分 ,那么去掉 而将 对MN做对称,则可得到一个周长仍然等于而面积等于 的区域,矛盾。
3、凡平分A的弦,无论方向,长度相等。
如果不然,不妨设两弦MN和M'N'均平分面积A而MN>M'N'。那么分别选取MN及其任一侧的曲线（半个,不妨记为P1}）,以及M'N'及其任一侧的区域（另行划分的半个,记为 P1 ）,并粘合在一起使得M'N'落在MN上,M与M'重合。
此时,新的图形仍然满足周长为,面积为的性质,且由于,应落于MN之间。
以M为中心,分别对P1和P'1做 和 倍的放缩,使两曲线的终端吻合（即N和N'经过变换之后重合,记为 N''）,得到两个分别与原区域相似的区域Q1和Q'1。适当调整 和 的值,使曲线 的周长仍为。
此时Q1和Q'1的长度分别等于 和 ,所围的面积分别等于 和 ；并且由于MN和MN'经过放缩后重合,有 。
由于曲线 的周长仍为P,故 ,从而 ；而由 , 。所以 。
所以 的面积为 ,与A最大矛盾。
4、若平分,O为MN中点,那么对上任意一点R,都有。
以O为中心,做MRN的中心对称图形,对称到R'；那么图形MR'NRM的周长为,面积为。由第3步知MN和RR'的长度应该相等,而O也是RR'的中点,故得结论。
5、由于O到上任意一点的距离都相等,所以是圆。
发展历程
平面上的等周问题是等周问题最经典的形式,它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为：在平面上所有周长一定的封闭曲线中,是否有一个围成的面积最大？如果有的话,是什么形状？另一种等价的表述是：当平面上的封闭曲线围成的面积一定时,怎样的曲线周长最小？
虽然圆看似是问题的表面答案,但证明此事实其实不易。首个接近答案的步骤出现于1838年——雅各·史坦纳以几何方法证明若答案存在,答案必然是圆形。不久之后他的证明被其他数学家完善。
其方法包括证明了不完全凸的封闭曲线的话,能以“翻折”凹的部分以成为凸的图形,以增加面积；不完全对称的封闭曲线能以倾斜来取得更多的面积。圆,是完全凸和对称的形状。可是这些并不足以作为等周定理的严格证明。
1901年,赫尔维茨凭傅里叶级数和格林定理给出一个纯解析的证明。
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