素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。
简介
大约在公元前300年，
欧几里得就证明了素数有无穷多个。设2,3,…,p是不大于p的所有素数，q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍数。由于q的最小正除数一定是素数，因此，或者q本身是一个素数，或者q可被p与q之间的某两个素数所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大于p的素数存在，由此即知素数有无穷多个。
素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数，在1到1000中间有168个素数，在1000到2000中间有135个素数，在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数，在4000到5000中间有119个素数，在5000到10000中间有560个素数。
猜想
孪生素数猜想
两个差等于2的一对素数,称为
孪生素数。例如,3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985×22304-1和1159142985×22304+1；它们是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。
所谓
孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。
梅森素数分布
2^P-1型的数称为
梅森数，并以Mp记之；而 2^P-1型的素数称为
梅森素数。这种
特殊素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
2013年2月6日，据英国《新科学家》杂志网站报道，柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于1月25日日发现了已知的最大梅森素数--“2^57885161-1”，该素数有17,425,170位，它是目前已知的
最大素数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过65公里！迄今人们已经发现48个
梅森素数。
1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师
欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
在“手算笔录”的年代，人们仅找到12个梅森素数。而计算机的诞生和
网格技术的出现，加速了梅森素数探究的进程。1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供全球数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的
GIMPS项目。
为了激励人们寻找
梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。
梅森素数的分布极不规则。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家
香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于
梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家
周海中经过多年的研究，于1992年首次给出了
梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重大成果被国际上命名为“
周氏猜测”。美籍挪威数论大师、
菲尔茨奖和
沃尔夫奖得主
阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
素数定理
关于素数个数的研究是素数分布中最重要的问题之一。以 π(x)表示不大于x的素数个数，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。
欧几里得早就证明了素数有无穷多个，即。从表可以看出：①x越大,π(x)与x的比值越接近于0；②x越大,π(x)与x/lnx的比值越接近于1。A.-M.
勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的
素数定理。它是素数分布理论的中心定理。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.
切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с1,с2，使得不等式с1x/lnx≤π(x)≤с2x/lnx成立，其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的
复变函数论知识。因此，能否以尽可能初等的方法来证明
素数定理，则成为数学家一直探讨的重要问题。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。他们的证明是基于赛尔伯格的著名
恒等式：
当x≥1时有
式中，表示对所有不超过x的素数求和，记号O的定义如下：设g(x)>0,ƒ(x)为一复值函数, α≤x≤b)。若存在一个与x无关的正常数M,使得当α≤x≤b)时有|ƒ(x)|≤Mg(x),则记为ƒ(x)=O(g(x)),M称为记号O所含之常数。于是某一满足上述条件的函数ƒ(x),就可用O(g(x))代之。
有误差项的
素数定理是指寻求误差π(x)-lix的最佳估计,,它比x/lnx更接近于π(x)。C.瓦莱·普桑于1900年首先证明了这里с是一正的常数。H.von科赫于1901年在
黎曼假设（见
黎曼ζ函数）下证明了
O(xlnx)。
И.М.维诺格拉多夫等于1958年借助于他的三角和估计方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε为任意正数，с是和ε有关的正常数。误差项π(x)-lix的变化是极不规则的。设ƒ(x)是实函数，如果存在与x无关的正常数α，使得任意大的x满足ƒ(x)>αx，则记为ƒ(x)=Ω(x)；若使得任意大的x满足ƒ(x)<- αx，则记为ƒ(x)=Ω-(x)。若这两种情形同时出现，则记为ƒ(x)=Ω(x)。J.E.
李特尔伍德于1914年证明了：当x→∞时，有π(x)-lix=Ω((xlnlnlnx)/lnx)。
算术级数中的
素数定理 P.G.L.狄利克雷于1837年首先证明了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数。设整数q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首项为l、公差为q的算术级数中不超过x的素数之个数。类似于素数定理，对于固定的q，容易证明： 式中φ(q)表示不超过q且与q互素的正整数的个数。这就是通常所说的
算术级数中的
素数定理。关于误差项估计，A.佩奇于1935年和C.L.西格尔与A.瓦尔菲施于1936年证明了：对任意正数h，当3≤q≤(lnx)时，有
式中с为绝对正常数；记号O中所含的常数仅与h有关，而与q无关。
算术级数中的最小素数
设k≥3，1≤l≤k，(l,k)=1。以p(k,l)表
算术级数knl(n=0,1,2,…)中的
最小素数。S.乔拉猜测p(k,l)=O(k)，其中ε为任意小的正数。ю.Β.林尼克于1944年首先证明了存在绝对常数с，使得p(k,l)=O(k)。
潘承洞于1957年首先指出с是可以计算的，并定出了с的值。目前最好的结果с≤17是
陈景润于1979年得到的。
相邻素数之差
设pn是第n个素数，是相邻的两个素数之差。在
黎曼假设下,H.克拉默于1921年证明了无条件结果是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克于1979年得到的。另一方面，关于dn的下界，E.邦别里和H.达文波特于1966年证明了：M.N.赫胥黎于1977年改进为E≤0.4425。猜测应有E=0。关于dn还有许多有趣的研究。