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索伯列夫空间

数学用语

索伯列夫空间是数学里由函数组成的赋范向量空间，主要用来研究偏微分方程理论，它以前苏联数学家С.Л.索伯列夫命名。

向量丛定义
设E为紧黎曼流形X上配有联络的埃尔米特向量丛，定义范数
称为基本索伯列夫k范数，该范数与度量与联络的选取无关。Γ(E)在该范数下的完备化称为索伯列夫空间。
施瓦兹空间定义
对，索伯列夫空间由施瓦兹空间上的具紧支集的连续线性泛函组成，且其傅里叶变换为测度为的平方可积函数。
性质
索伯列夫空间为希尔伯特空间。
等价定义
对于任何实数 ，以及实数 ，我们可以定义索伯列夫空间 。
整数k的索伯列夫空间
当 为正整数的时候（此时记 为 ），索伯列夫空间 是由局部可积函数 构成，其中 满足：对于任何多重指标 ， 存在且属于 。
索伯列夫空间是赋范线性空间，在以下范数下其为巴拿赫空间：
若 ，该空间往往记为 ，我们使用表示该空间因为此时索伯列夫空间为希尔伯特空间。
非整数s的索伯列夫空间
当 为非整数时，索伯列夫空间 可由傅里叶变换定义：
函数的 范数是
索伯列夫空间的动机
在研究偏微分方程中，人们往往需要运用泛函分析的相关知识，因此需要找到一个合适的空间。在索伯列夫空间中，偏微分方程的解得到了某种意义下的“弱化”（下见弱导数部分），这导致人们可以在更大的空间中求偏微分方程的解以及解的正则性等性质。
弱导数
弱导数的动机
记 是 的一个子集，假设有一个连续可微函数 以及具有紧支集的光滑函数 ，利用分部积分公式可知：
注意到因为函数 具有紧支集，故式中的边界项为 。因此我们考虑多重指标 ，其中 为非负整数，我们记 ，则有
其中
我们记
则 是函数 的导数。弱导数就是这样的思想在 空间里的类比。
弱导数的定义
假设 ， 是一个多重指标，若对于任何测试函数 ，
则称 是 的 阶弱偏导数，记做
可以证明如果一个函数的 阶弱偏导数存在，那么偏导数在几乎处处为零的意义上是唯一的。
索伯列夫延拓算子
延拓定理
若 有界且边界 是 （此处指在局部边界可以表示为一个 函数的图像），选择任何一个有界开集 满足 （此处指存在一个紧集 满足 ）。则存在一个有界线性算子
满足对于任何有
(i) 在中几乎处处：；
(ii)的支集包含于；
(iii) 存在依赖于，和的常数满足：。
全延拓算子
若且是一个李普希兹区域，则存在一个将上几乎处处定义的函数送到上几乎处处定义的函数的线性算子满足且对于任何正整数有。
索伯列夫嵌入
索伯列夫嵌入又称为索伯列夫不等式，对于一个函数空间，人们自然会问一个问题，也就是这个函数空间与其他函数空间关系的问题。索伯列夫不等式恰好能够描述索伯列夫空间与其他函数空间的嵌入关系。
Morrey不等式
对于，那么存在常数使得对于任何都有
其中。
推广：
如果，那么存在一个常数使得对于任何
其中若，，若，为任何中的实数。
GNS不等式
不等式：如果，则存在常数使得对于任何函数都有
嵌入：若是一个中的有界开集且其边界为的。假设，那么对于，都有，且存在常数使得
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