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线性估计

数学领域术语

线性估计(linear estimation)是随机过程理论的一个重要的实际应用问题。是由已知随机变量族{X(t),tET}的观测值在某个最优准则下估计未知随机变量Y的值.即寻找一个{X(t),tET}的函数f (X(t) ,tET)，使得Y-f (X(t),tET)最优地近似Y。若f限于线性函数类时，这问题称为线性估计。

线性估计模型
线性估计的模型为：
其中，y是被解释变量（因变量）；
x是解释变量（自变量）；
B0和B1是待估计的参数。
估计方法
常用的线性参数估计算法有LS、WLS、Ransac LS、LMedS（其实Ransac的使用并不局限于线性模型，LMedS的思想也可以扩展到非线性模型）。
LS既是最小方差，以此作为目标函数求解参数估计值的方法称为最小方差估计，SVD分解是解决这一问题的最有效手段。
WLS既是带权重的最小方差，其思想是将每个输入的样本赋予权值，初始时每个样本的权值相等，然后使用所有带权重的样本估计模型的参数，得到参数后，计算每个样本与模型的偏差，再根据偏差决定样本的新权重，偏差越大则权重越小，然后重复模型参数估计与权重更新这个过程，直到样本的带权偏差和收敛为止。
Ransac是一种随机参数估计算法。Ransac LS从样本中随机抽选出一个样本子集，使用LS对这个子集计算模型参数，然后计算所有样本与该模型的偏差，再使用一个预先设定好的阈值与偏差比较，当偏差小于阈值时，该样本点属于模型内样本点（inliers），否则为模型外样本点（outliers），记录下当前的inliers的个数，然后重复这一过程。每一次重复，都记录当前最佳的模型参数，所谓最佳，既是inliers的个数最多，此时对应的inliers个数为best_ninliers。每次迭代的末尾，都会根据期望的误差率、best_ninliers、总样本个数、当前迭代次数，计算一个迭代结束评判因子，据此决定是否迭代结束。迭代结束后，最佳模型参数就是最终的模型参数估计值。
LMedS也是一种随机参数估计算法。LMedS也从样本中随机抽选出一个样本子集，使用LS对子集计算模型参数，然后计算所有样本与该模型的偏差。但是与Ransac LS不同的是，LMedS记录的是所有样本中，偏差值居中的那个样本的偏差，称为Med偏差（这也是LMedS中Med的由来），以及本次计算得到的模型参数。由于这一变化，LMedS不需要预先设定阈值来区分inliers和outliers。重复前面的过程N次，从中N个Med偏差中挑选出最小的一个，其对应的模型参数就是最终的模型参数估计值。其中迭代次数N是由样本集子中样本的个数、期望的模型误差、事先估计的样本中outliers的比例所决定。
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