线性系统代数理论

数学术语

线性系统代数理论是以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。

简介

线性系统理论中用抽象代数的语言和方法研究线性系统的一个理论分支。这种理论和方法的特点是抽象化、形式化和符号化。在这种理论中不采用有直接物理意义的时间域和频率域的语言，而是把线性系统的模型、运动和各种动态特性采用抽象的代数结构（如群、环、域、模、范畴等）和相应的抽象运算或映射关系来描述。

研究

线性系统代数理论的最早的研究是R.E.卡尔曼于1969年创建的模论方法（模是环上的“向量空间”），这个方法后经P.A.富尔曼等人的发展而更趋完善。1972年以后卡尔曼和E.W.卡门等人又把域上的线性系统理论推广为环上的线性系统理论，获得一些有意义的结果。后来对这一理论的研究被进一步抽象化，把动态系统（包括线性系统）的研究从不同角度推向更为一般的代数结构领域，使得到的结果具有更大的普遍性。

理论

线性系统代数理论最主要的内容是模论方法。基本做法是把参考时刻t=0以前的输入序列{u(i)}，i=-N，－N+1,…,0（N为正整数）,与一个形式多项式u(z)=相对应,u(z)全体构成输入模Ω。把t=1以后的输出序列 {y(i)}，i=1，2，…，与一个形式幂级数相对应,全体y(z)构成输出模Ψ。每一个u(z)必定与一个y(z)相对应，即从Ω到Ψ有一个映射f，记为f:Ω→Ψ。Ω的商模Ω/kerf（kerf表示f的核，即映象为零元的u(z)的集合）的每一个元素相当于系统的一个状态，Ω/kerf 就是系统的状态空间。在此基础上，涉及线性系统理论的许多基本问题如能控性、能观测性、实现问题等都可以用模论的语言表示，并可用代数方法得到一些有意义的结果。模论方法在线性系统理论的研究中很有成效，并已被扩展应用于更为复杂的2-D系统理论等方面的研究中。

环上的线性系统理论是普通的（域上的）线性系统理论的推广。已有结果表明，环上的线性系统在性能上显著弱于普通的线性系统。例如，能控性不再是环上的线性系统能任意配置极点的充分条件（见极点配置）。环上的线性系统理论的研究加深了对线性系统的内在规律的认识。

对在其他代数结构上定义的动态系统(包括线性系统)理论也已作了多方面的探讨,如群上的自动机、泛代数上的受扰动态系统、半自动机的泛代数描述等。

由于代数方法的抽象性，线性系统的代数理论的结果具有较大的普遍性，适用于很多具体系统，也有助于从代数结构的角度揭示线性系统的数学性质。抽象代数方法还能用于解决某些具体的系统理论问题。例如，可以用完备格理论阐明状态观测器的结构。又如，将能控子空间的概念推广用于计算机形式语言，便产生出能控子语言的概念。此外，代数理论的符号化特点有利于控制理论与计算机科学相结合，为在系统理论研究中使用计算机提供媒介。代数方法的缺点是不能用来解决定量性的细节问题。

参考书目

R.E.Kalman， P.L.Falb and M.A.Arbib，Topics in　Mathematical System Theory，McGraw-Hill，NewYork,1969.

凯拉斯著，李清泉等译：《线性系统》，科学出版社，北京，1985。(T.Kailath,Linear Systems，Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs., N.J., 1980.)

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