绝对无限

数学家康托尔的超越超限数的无限概念

绝对无限(Absolute Infinite) 是数学家康托尔的超越超限数的无限概念。康托尔坚持绝对无限有各种数学性质，包括绝对无限的所有性质也被某些更小的对象所持有。

概述

引证康托尔所说:

实际无限在三个上下文中出现: 首先在它被认识于最完善的形式中，在完全独立的其他世界的存在中，“in Deo”的时候，这里我称呼它为绝对无限或简单的称为无限；其次在它偶然性的出现在神造世界中的时候；第三在精神“在观念上”把它掌握为数学上的量、数或序类型的时候。

康托尔还在著名的 1899年7月28日给 Richard Dedekind 的信中提到了这个想法*:

一个多重列(multiplicity)被称为良序的，如果它符合所有子列都有第一个元素的条件；我把这种多重列简称为序列。我正视所有数的系统并把它指示为 Ω。系统 Ω 依照量是“序列”而处于它的自然排序下。让我们毗连 0 作为给这个序列的一个额外元素，如果我们设置这个 0 在第一个位置上则 Ω* 仍是序列 ... 通过它你可欣然的自我确信，出现在其中的所有的数都是所有它前面元素的序列的序数。Ω* (因此还有 Ω)不能是相容的多重列。因为如果 Ω* 是相容的，则作为良序集合，数 Δ 将属于它，而它将大于系统 Ω 的所有的数；但是数 Δ 还属于系统 Ω，因为由所有的数组成。所以 Δ 将大于 Δ，这是一个矛盾。所以所有序数的系统 Ω 是不相容的，绝对无限多重列。

两个性质

关于绝对无限有两个有趣的性质（这使得它有宛如神的性质）：

①反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。

假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。

②不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。

推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。

悖论

所有序数的搜集在逻辑上不能存在，这个想法在很大程度是悖论性的。这与没有最大序数的 Burali-Forti悖论有关。所有这些问题都可以回溯到，对于所有逻辑上可以定义的性质，都存在有这个性质的所有对象的一个集合的想法。但是在康托尔上述论证中，这个想法导致了困难。

更加一般的说，如 A.W. Moore 所表述的，集合形成的过程没有终结，因此没有作为“所有集合的全体”或“集合层次”的这种事物。任何这种总体自身必定是集合，所以位于这个层次中的某个地方而不能包含所有集合。

这个问题的标准解决可在 Zermelo集合论中找到，它不允许对任意性质的无限制的集合形成。转而我们可以形成有某个给定性质并“位于没有给定集合中”的所有对象的集合(Zermelo 的分离公理)。这允许在有限制意义上的集合形成，而(有希望)保存理论的相容性。

但是尽管它优雅的解决了逻辑问题，但哲学问题依旧。只要个体们存在这些个体的集合就应存在是很自然的。在朴素的意义上，集合论可以被称为基于了这个概念。Zermelo 的修正将提交给我们一个更神秘的真类的概念: 在我们的理论中有着没有作为一个对象(集合)的任何形式存在的对象的类。例如，所有集合的类就是这种真类。

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