统计决策理论

理学领域术语

由统计学家A.瓦尔德在1950年提出的一种数理统计学的理论，这种理论把数理统计问题看成是统计学家与大自然之间的博弈；用这种观点把各种各样的统计问题统一起来，以对策论的观点来研究。

基本介绍

第二次世界大战期间，数理统计学研究中一些重要的新动向，在很大程度上决定了这门学科在战后的发展方向。其中影响最大的是美籍罗马尼亚数学家沃尔德（A。Wald，1902-1950）提出的序贯分析和统计决策理论。

在此以前，人们对数理统计，主要是着眼于其推断的功能，亦即从观测数据出发对总体作出某种论断（见统计推断）。至于由此应该采取什么决策或行动，会产生什么后果，则被认为不属于统计的范畴。瓦尔德的理论则把后面这一部分内容也纳入统计的范围之内，这在数理统计学上是一项革新，有较大的实际意义。

在一个统计问题中，统计工作者掌握的资料是样本X=(x1，x2…，xn)，X所来自的总体的分布Fθ中包含的参数θ为未知，而只知道θ所属的集合（为θ所有可能取值的集合，称为参数空间）。但是，采取什么决策最好，则取决于未知的θ值。用形象化的说法，θ是由大自然在参数空间中选定的，人们力图去找到它。大自然掌握了θ的秘密，而这个秘密又通过样本泄露出来，统计工作者的任务就是根据样本 X中所包含的关于θ的信息，去作出良好的决策。例如，一家商店根据抽样决定是否接受一批来货，一个工厂根据市场调查的结果决定某种产品生产多少等，希望所采取的行动取得尽可能好的效果，或者说，使“行动不当”所造成的损失尽可能小。

三要素

可以通过三个要素把一个统计决策问题表达出来。

样本空间

样本空间 H与样本分布族{Fθ：θ∈}这个要素规定了问题的概率模型。样本空间是样本可能的取值范围，而样本分布族是样本所可能遵从的分布的集合。

行动空间

②行动空间A　它是统计工作者可以采取的单纯策略（或称行动）的集合。例如，设 θ为一维参数，要对θ作区间估计，则实轴上任一区间[α，b]构成一个单纯策略，这时行动空间为所有[α，b]构成的集合。若问题是要检验有关 θ的假设，则行动空间 A由α0（接受假设）和α1（拒绝假设）两个元素构成。

损失函数

损失函数L 统计决策理论有一个基本出发点：所采取的行动的后果可以数量化。设参数真值为 θ，统计工作者采取的行动为α，则所遭受的损失可表为 α与θ的函数L(θ，α），称之为损失函数。在一个具体问题中，采取什么损失函数最好，是一个需要进行大量调查研究以至理论工作的问题，这也是在使用决策理论时的一个困难点。

统计决策函数　当三个要素都已给定时，统计工作者采取什么行动，取决于他所掌握的样本。求一个统计决策问题的解，就是制定一个规则，以便对样本空间中每一点，在行动空间中都有一个元素与之对应，也就是找一个定义于样本空间 H而取值于行动空间A的函数或分布函数δ，就按δ采取行动，称δ为决策函数。用对策论的语言，δ就是统计工作者所采取的策略。

选择准则

对一个统计决策问题，为选定一个较优的决策函数，需要建立反映决策函数优劣的指标。风险函数R（θ，δ）就是这样的指标，定义为R（θ，δ）=Eθ [L（θ，δ（X））]，即采取决策函数δ而参数真值为θ时所遭受的平均损失。风险函数愈小，决策函数愈好。在这个原则下，可以引进种种更具体且可行的准则。

容许性准则

容许性准则　设δ为一决策函数，若存在另一决策函数δ，使对一切θ∈有R（θ，δ）≤R（θ，δ），且不等号至少在中的某一点成立，则称δ为不可容许的，否则为可容许的。从风险愈小愈好的原则出发，当δ不可容许时，便没有理由使用它。判定一个决策函数是否可容许，是统计决策理论中一个重要而且困难的问题。在风险函数愈小愈好的原则下，若存在决策函数δ0，对一切θ∈必成立R（θ，δ0）≤R（θ，δ），其中δ为任一决策函数，则δ0是最好的决策函数，称为一致最优决策函数。但这种决策函数一般不存在，因而不得不放宽条件，常采用的有两种方法：一种是不对风险函数在上作逐点比较，而采用某种综合性指标；另一种方法是先从一定角度对允许使用的决策函数加以一定限制，然后再找一致最优的，从而又引出下列准则。

最小化最大准则

最小化最大准则　最大风险是一种综合性指标，若存在使最大风险最小的决策函数δ，使得对一切决策函数δ都有：M（δ）≥M（δ），则称δ是最小化最大决策函数，它反映了一种较稳健或保守的策略思想。

贝叶斯准则

贝叶斯准则　它以贝叶斯风险为指标，在参数空间上选定一概率测度ξ，称ξ为θ（θ∈）的先验分布，而称为决策函数δ的相对于ξ的贝叶斯风险，它也是一个综合性指标。若对一切决策函数δ都成立，称δ为ξ的贝叶斯决策函数。

最优同变性准则

最优同变性准则这是一种在限制决策函数有同变性的条件下，求一致最优决策函数的准则。同变性是指当问题由于平移、刻度等变换而发生变化时，相应的决策（对策）也能有同步地变换的性质。例如，在正态总体N（μ，1）中抽样x1，x2，…，xn以估计μ，若将度量原由零点（O）移到с处，则样本在新坐标系下变为x1+с，x2+с…，xn+с，而参数变为μ+с，如果接受“估计结果不应与坐标原点的取法有关”的原则，则所用的决策δ应满足：对任何实数с，有；称这样的 δ在平移变换下有同变性。可以在样本空间H上考虑更复杂的一一变换群，而定义在这个变换群之下的同变性，在所有具有同变性的决策函数类中，风险一致最小的决策函数被称为最优同变决策函数。

在点估计中，限制使用的估计量有无偏性，采用平方损失函数，在这个限制下，一致最优估计量就是一致最小方差无偏估计。这是另一个在限制决策函数下，求一致最优策略的例子。

一旦选定了优良性标准，统计决策问题的解决，就相当于一个数学上的最优化问题。1950年后的几十年来在这方面做了不少工作，这不仅使统计问题有了严格的数学提法，同时也在形式上部分地突出了瓦尔德的想法，把形式不一样的统计问题归并在一个模式下统一处理。决策函数的观点使统计更注重了所采取行动的效果，也使统计问题提法更加多样化，从而开拓了某些新的研究领域，例如前面提到的关于容许性及最小化最大准则的研究。因此，瓦尔德的理论受到统计学界的重视，成为二次大战后统计学史上一个重大事件。但是，在这个问题上的看法也并不一致，英国统计学家M。肯德尔认为“损失的数量化”并非在任何情况下都合理可行，而且他还认为，把统计问题归之于统计工作者与大自然之间的博弈的观点，是值得怀疑的。

决策论

一些统计工具对于决策过程中的信息收集，风险估计是非常有帮助的。人们可以计算第一类错误和第二类错误发生的概率，从而正确的评估风险损失，做出更好的理性选择。

下面这个例子说明了在审判过程中的决策过程：

第一型及第二型错误（英语：Type I error & Type II error）或型一错误及型二错误为统计学中推论统计学的名词。

在假设检验中，有一种假设称为“零假设”。假设检定的目的就是利用统计的方式，推测零假设是否成立。若零假设事实上成立，但统计检验的结果不支持零假设（拒绝零假设），这种错误称为第一型错误。若零假设事实上不成立，但统计检验的结果支持零假设（接受零假设），这种错误称为第二型错误。

以利用验孕棒验孕为例，此时未怀孕为零假设。若用验孕棒为一位未怀孕的女士验孕，结果是已怀孕，这是第一型错误。若用验孕棒为一位孕妇验孕，结果是未怀孕，这是第二型错误。

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