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置换

数学术语

置换是一个数学术语。

定义
置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义：
在集合论中，一个集合的置换是从该集合映至自身的双射；在有限集的情况，便与上述定义一致。
在组合数学中，置换一词的传统意义是一个有序序列，其中元素不重复，但可能有阙漏。例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换，但是其中不含5,6。此时通常会标明为“从n个对象取r个对象的置换”。
抽象代数
在集合论与抽象代数等领域中，“置换”一词被保留为集合（通常是有限集）到自身的双射的一个称呼。例如对于从一到十的数字构成的集合，其置换将是从集合到自身的双射。一个集合上的置换在函数合成运算下构成一个群，称为对称群。对称群的一个n元子群是n元置换群。
表示法
由于元素的有限集可以一一对应到集合，有限集的置换可以化约到形如 {1, ..., n} 的集合之置换。此时有两种表示法。
第一，利用矩阵符号将自然排序写在第一列，而将置换后的排序写在第二列。
第二，借由置换的相继作用描述，这被称为“轮换分解”。
特殊置换
长度等于二的轮换称为换位，这种轮换是将元素交换，并保持其它元素不变。对称群可以由换位生成。
轮换长度为偶数的轮换称为偶轮换，反之则为奇轮换；由此可定义任一置换的奇偶性，并可证明：一个置换是偶置换的充要条件是它可以由偶数个换位生成。偶轮换在置换群中构成一个正规子群，称为交错群。
计算理论中的置换
在计算机学科中，赋值/代入的差别表明函数式编程与指令式编程之差异。纯粹的函数式编程并不提供赋值机制。现今数学的惯例是将置换看作函数，其间运算看作函数合成，函数式编程也类似。就赋值语言的观点，一个代入是将给定的值“同时”重排，这是个有名的问题。
置换图
(2,5,1,4,3,6)的置换图取一个无向图G，将图G的n个顶点标记v1,...,vn，对应一个置换( s(1) s(2) ... s(n) )，当且仅当s(i) < s(j) 而i>j，则图的vi和vj相连，这样的图称为置换图。
置换图的补图必是置换图。
使用计算机
多数计算机都有个计算置换数的nPr键。然而此键在一些最先进的桌上型机种中却被隐藏了。例如：在 TI-83 中，按 MATH、三次右键、再按二。在卡西欧的图形计算机中，按 OPTN，一次右键（F6）、PROB（F3）、nPr（F2）。
试算表语法
多数试算表软件都有函式 PERMUT(Number，Number chosen)，用以计算置换。Number是描述物件数量的一个整数，Number chosen是描述每个置换中取物件数的整数。
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