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群作用

数学名词

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义
左作用
若 为一个群而 为一个集合，则 在 上的一个(左)群作用是一个二元函数
(其中 和 的像写作 )，满足如下两条公理：
1. 对于所有 和 成立；
2. 对于每个 成立 ( 代表 的单位元)。
从这两条公理，可以得出对于每个 ，映射 到 的函数是一个双射，从 映射到 。因此，也可以将 在 上的群作用定义为从 到对称群 的群同态。
若群作用 给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
右作用
完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数 ，满足以下公理：
注意左和右作用的区别仅在于像 这样的积在 上作用的次序。对于左作用 先作用然后是，而对于右作用先作用然后是。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果为一右作用，则
是一左作用，因为
而
所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。
相关概念
设李群G作用在流形M上，若对M上任意两点x,y都存在G中元g使得g(x)=y，则称G的群作用是传递的。
群作用轨道
1.作用轨道
设为目标集，群作用在上，，则集合称为在作用下的一个轨道，为此轨道的代表元。
由轨道的定义可得如下性质，
性质1：若在中定义二元关系为：存在，使，则是中的等价关系，且每一个等价类就是一个轨道。
性质2：，即轨道中任意元素都有资格作为代表元。
性质3：构成的一个划分，因而有。
2.稳定子群
设群作用在上，，，若，则称为的一个不动点（fixpoint）。以为不动点的所有群元素的集构成的子群
称为的稳定子群（Stabilizer）。
关于稳定子群与其轨道关系有如下轻质：
1）轨道公式：
2）同一轨道上的元素的稳定子群是互相共轭的：
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