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脐点

数学术语

若曲面上的一点P，其第一、二基本形式成比例，则称P点为曲面的脐点(umbilical point)。若第二基本形式为零，则称为平点，否则称为圆点。在脐点处总曲率K=H2(H为平均曲率)，两个主曲率相等，任何方向均为主方向。每点均为脐点的曲面(称为全脐点曲面)必为平面或球面。

基本介绍
脐点(umbilical point)是曲面上的一类特殊点，它是第一基本形式与第二基本形式成比例的点，若曲面在某一点处的第一、二类基本量适合
则称该点为曲面的脐点。曲面在脐点处的每一个切方向都是主方向，沿各方向的法曲率都相等， 的脐点称为平点， 不全为零的脐点称为圆点，平面上的点都是平点，球面上的点都是圆点。
法曲率与脐点
法曲率是曲面理论的一个核心概念。
设
为曲面上任意曲线，s为弧长。法曲率为
由于对任何方向， 不能同时为零，故不妨在(1)中设 ，这表明法曲率是方向 的函数，一般的说不同方向上 的值也不相同。所谓脐点，就是指曲面上这样一种特殊的点，它的任何方向的 恒为常数。
于是对于脐点，(1)式中为常数，且对任何方向都成立，自然对于参数曲线方向亦成立，对线显然有
同样对v线有
当时，由上述两式可直接得到，再代入(1)式便知。至于时，则将两式代入(1)式有
总之有
反之，若(2)式成立，则当时，显然对任何方向均有。若不全为零，不妨设，于是令，则有
从而
因对曲面上一定点，为定值，故为常数。于是有：
定理 曲面上一点为脐点的充要条件是
由上述定理的证明过程可以看到，平点是脐点中的一种。
我们又称L、M、N不全为零的脐点为圆点。球面上的点皆为圆点，而且可以证明其逆也成立，从而有：一个曲面为球面或球面一部分的充要条件是其上的每一点都是圆点。对于圆点，如上不妨令
再根据(3)式以及为恒正齐式，即得
从而可知圆点是椭圆点的特殊情形。
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