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自由分解

特殊的投射分解

自由分解(free resolution)是一种特殊的投射分解。投射分解是一种特殊的左复形。它是内射分解的对偶概念。设M是A模，M上的零调投射左复形称为M的投射分解。

概念
自由分解(free resolution)是一种特殊的投射分解。设M是A模，若有正合序列：
其中每个Fn都是自由模，由序列(1)决定的投射分解称为模M的自由分解。每个模M都有自由分解。若在M的自由分解(*)中，每一个Fn都是有限生成自由模，且分解(*)长度有限(只有有限个Fn)，则(*)又称为M的有限自由分解(FFR)。有有限自由分解的M必为有限生成模。
投射分解
投射分解是一种特殊的左复形。它是内射分解的对偶概念。设M是A模，M上的零调投射左复形称为M的投射分解，它是一个正合列：
其中每个Pn都是投射模。每个模M都有投射分解，并且，除投射等价外是惟一确定的。
正合序列
正合序列这个同调代数的基本概念为线性代数提供了一种方便的记号。设A为环。 A模的正合序列是由一个A模族(En)n∈z，与对任一有理整数n，从En到En+1的一个线性映射 fn给定的序列，其中 fn的像等于fn+1的核：
Im(fn)=Ker(fn+1).
人们也称图：
为一正合序列。
记缩成其中性元素的A模为0。如果En=0，则写出fn-1与fn是无用的，因为只有唯一一个从En-1到0中或从0到En-1中的线性映射。称给定的三个A模E，F和G，以及满足：
Im (f)=Ker(g)
的从E到F中的线性映射f及从F到G中的线性映射g为短正合序列。
例如，当环A为交换环时，函子E↦E⨂F及F↦E⊗F都是左正合的，但一般说来，它们不是右正合的。同样，函子F↦(E， F)是共变的，且是左正合的，至于函子E↦(E， F)则是反变的， 右正合的。当A为交换体时，这些函子都是正合的。
模
一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射：
μ： A→End(M)，　a→aM.
特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA。若A有单位元1，且又满足条件：
4.1x=x (x∈M);
则称M为酉模或幺模。
自由模
一类重要的模，它的性质最接近于域上的向量空间。对左A模M中的一组元素{xα}α∈I，若对任意有限和
aαxα=0 (aα∈A)，
总蕴涵着aα=0 (α∈I)，则称{xα}α∈I是线性无关的。若模M有一线性无关的生成元系{xα}α∈I，则称{xα}α∈I是M的一组基，而有基的模M就称为自由模。除环上的任意模都是自由模；主理想整环上的自由模的子模还是自由模；任意自由模都与形如A的模同构；任意模都是某个自由模的同态像。
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