自适应网格

数学术语

自适应网格法，简称AMR，最早是由Berger and Oliger于1984年提出的，是通过求解椭圆型方程的边值问题来数值生成网格的一种新方法。它是在任意形状的区域上求偏微分方程的数值解的一种非常有效的工具。该方法抛弃了等距均匀的差分网格，代之以能够自动地适应所研究问题中解的特征的疏密程度不均的曲线网格。如在边界上计算网格与实际边界相重合，在区域内部可任意调节网格点的疏密程度等。

简介

自适应网格方法是指计算中，在某些变化较为剧烈的区域，如大变形、激波面、接触间断面和滑移面等，网格在迭代过程不断调节，将网格细化，做到网格点分布与物理解的耦合，从而提高解的精度和分辨率的一种技术。自适应网格希望在物理解变动较大的区域网格自动密集，而在物理解变化平缓区域网格相对稀疏，这样在保持计算高效率的同时得到高精度的解。自适应网格技术主要有移动网格方法和局部细化或粗化的网格方法。近年来，自适应网格方法一直引起国际学术界和各类应用部门的高度重视，并且成为网格方法研究的热点问题，发展了很多方法，在一些领域应用非常广泛。

自适应网格技术对冲压成型是至关重要的，因为初始的冲压板材通常比较平坦、形状很简单，采用有限元网格离散化时，如果网格较粗，可能引起较大误差。但如果采用细密的有限元网格，将增加单元的总数，并且由于单元尺寸减小将降低极限时步长，增加计算的机时。虽然采用局部细分网格可以节省机时，但由于板料大变形和在模具中相对滑动，难以预测局部细分网格在初始状态板料上的位置，而且局部细分网格在前处理时也有很大麻烦。自适应网格技术刚好解决了这一问题，并在时间与精度上巧妙地取得了平衡。自适应网格技术提高了对零件的表面质量(表面缺陷、擦伤、微皱纹等现象)判断的准确性，并且可以节约大量的计算时间。

原理

基本思想

自适应网格法是一种高效且准确的数值方法，其网格结构可以随着计算的推进而动态变化。自适应网格法的基本思想就是根据计算的实际需要以及问题的特性动态改变计算区域内的网格结构，在物理量变化剧烈的计算区域，采用空间尺度较小的精细网格予以计算；在物理量变化缓慢的区域，采用空间尺度较大的粗网格来计算，从而提高计算效率，也就是说自适应网格法可以动态追踪流场内的锋面运动。

构造原理

自适应网格的构造原理是通过坐标变换将参数平面上的一个简单区域(如矩形区域或多个矩形所组成的区域)变换到物理平面上的计算区域，使得矩形区域的边界与计算区域边界一一对应，区域内部与内部相对应。这样一来，有限差分方法可直接在参数平面上进行计算，而无需考虑真实的区域边界的形状。即使当计算区域的边界是非常定的，该坐标的应用仍使得计算在参数平面上的一个固定的等距、均匀的矩形网格系统上进行，而其边界始终与真实的区域边界相重合。这样做大大地减化了计算，使得边界上的值可直接用于网格点上，而不需要任何形式上的插值，从而可以准确地表达边界条件，有效地克服了等距差分网格在边界上所带来的误差。

划分方法

在LS-DYNA中，自适应网格划分方法可以分为两种：h-adaptive方法和r-adaptive方法。

h-adaptive方法是指单元变形较大时，将单元细分为更小的单元以改善精度，目前仅适用于壳单元，主要用于金属成型模拟、薄壁结构受压屈曲等问题。

在h-adaptive方法中，某些单元分割为更小的单元以改善计算精度，如图1所示，薄壁方形梁屈曲分析采用的是一级自适应网格划分计算。LS-DYNA中采用自适应网格方法的目的在于使用有限的计算资源获得最大的计算精度。用户设置好初始网格和自适应划分级别后，程序根据需要将某些单元进行分割。虽然这种方法并不能完全解决求解过程中的误差，但与固定网格相比，可以使用较少的单元和计算资源来尽可能地提高求解精度。

h-adaptive方法中，某些单元由于精度需要细分为更小的单元，这个过程称为裂变。裂变后，新单元的边长尺寸是原来的1/2，通过各边中点以及单元质心，一个四边形单元可以分割为四个四边形单元，如图2所示。

网格结构

网格结构是数学模型空间离散的基础，所有的离散步骤均是在各离散网格上进行的。对于点中心控制容积法，计算区域在理论上可以被划分为任意形状的网格，为了方便实施计算，一般采用正交规则网格系统。

自适应网格法的网格是一种多层网格结构，这意味着计算区域中存在有不同层次的网格，它们的空间尺度各不相同，从最细层（l=1）到最粗层（），如图3所示。所有网格层次中最基本的网格是计算开始前的初始网格，记为 l层网格。多孔介质的属性均定义在该层网格上，例如绝对渗透率、孔隙度、多孔介质的输运性质包括相对渗透率、毛管力函数关系等等，更为重要的是数值模拟过程中，多孔介质的上述性质在该层网格上视为均质。

在自适应网格法中，需要进行两种操作：粗化与细化。当l层网格被细化后，数个l-1层网格被创建，一般记该l层网格为父网格，这些被创建的l-1层网格为子网格。当网格被粗化时，与细化相反，数个l层网格被一个更粗的l+1层网格所替代，但是在粗化中，需要遵循一个规则：只有那些来自于同一个父网格的较细层网格才可以被粗化为一个更粗层网格。值得注意的是，不同于多重网格法，自适应网格法的所有粗网格下均未定义精细网格，在所有的计算中，始终是定义在粗网格上的物理量参与数值计算。

为了确保计算稳定，自适应网格法一般要求相邻网格的层次之差不超过1。同时相邻网格上的网格尺寸满足。

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